Вопрос 45. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Рассмотрим сечение тела какой-нибудь плоскостью OXY, параллельной неподвижной плоскости П (рис. 1.56).

Рис. 1.56 Рис. 1.57

При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой , перпендикулярной к сечению, т.е. к плоскости П, движутся тождественно. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как дви-жется сечение тела в плоскости OXY. В дальнейшем будем плоскость OXY совмещать с плоскостью рисунка, а вместо всего тела изображать только его сечение. Положение сечения в плоскости OXY определяется положением какого-нибудь проведенного в этом сечении отрезка АВ (рис. 1.57). Положение отрезка АВ можно определить, зная координаты точки А и угол , который от-резок АВ образует с осью x. Точку А, выбранную для определения положения сечения, называют полюсом. При движении тела величины и будут менятьс (1.74)

Уравнения (1.74), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

Вопрос 46.Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

Пусть данная фигура движется в плоскости чертежа (рис.15.3)

Рис.15.3.

Отнесем это движение к неподвижной системе координат Оху и, возьмем систему подвижных координат О'х'у', неизменно связанных с движением фигуры. Проведем через точку О' оси О'ξ и О'η неизменного направления, так что эти оси остаются все время параллельными неподвижным осям. Тогда система подвижных осей О'ξη, перемещаясь вместе с точкой О' фигуры в плоскости чертежа будет двигаться поступательно.

Положение движущейся фигуры по отношению к подвижным осям О'ξη определяется углом φ, т.е. углом между осями О'ξ и О'х', а движение фигуры относительно этих осей (ее относительное движение) есть вращение вокруг точки О'.

Угловая скорость в этом вращательном движении равна производной от угла φ по времени, т.е.

Переносное движение (движение осей О'ξη) является поступательным. Скорость поступательного движения равна скорости точки О' данной фигуры:

Проекции скорости на неподвижные оси будут равны:

и , где и - координаты точки О', или на основании уравнений движения:

и

Отсюда

Всякое движение плоской фигуры можно разложить на два движения:

1. Поступательное движение со скоростью, равной скорости произвольно выбранной точки фигуры

2. Вращательное движение вокруг этой точки.

Вопрос 47. Уравнения движения свободного тела в общем случае. Разложение движения твердого тела на поступательное движение и движение вокруг некоторой точки.

Рассмотрим общий случай движения свободного твердого тела, т.е. такого тела, которое может получать любое перемещение в пространстве. Отнесем движение свободного тела к системе неподвижных осей Охуz. В самом теле возьмем неизменно связанную с ним систему подвижных осей О'х'у'z', имеющих начало в произвольно выбранной точке тела О' (рис.16.7).

Рис.16.7.

Проведем через точку О' подвижные оси ξ,η,ζ неизменного направления, предполагая, что эти оси, перемещаясь с точкой О', остаются все время параллельными неподвижным осям х, у и z.

Положение данного свободного тела в пространстве будет вполне определено, если будет известно положение связанной с ним системы подвижных координат О'х'у'z'. Но для того, чтобы определить положение в пространстве системы осей О'х'у'z', необходимо и достаточно знать: во первых, положение подвижного начала О', т.е. координаты х_О', у_О' и z_О', точки О', и, во вторых, положение системы координат О'х'у'z' относительно осей О'ξηζ, параллельных неподвижным осям. Так как две системы координат О'х'у'z' и О'ξηζ имеют общее начало О', то положение первой из них относительно второй может быть определено тремя углами Эйлера ψ, θ и φ. Отсюда следует, что положение осей О'х'у'z', а, следовательно, и положение свободного твердого тела в пространстве определяется шестью параметрами: тремя координатами точки О' и тремя углами Эйлера. Поэтому свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы.

При движении тела в общем случае все шесть параметров, изменяясь с течением времени, являются однозначными и непрерывными функциями переменного t, т.е.

Если все шесть функций времени известны, то положение тела в каждый момент времени будет известно и, следовательно, движение тела будет полностью определено. Поэтому эти уравнения называются уравнениями движения свободного тела в общем случае.

Первые три уравнения определяют движение точки О' тела и вместе с тем поступательное движение осей О'ξηζ (переносное движение), а последующие три уравнения определяют движение тела относительно этих осей (относительное движение тела).

Так как точка О' занимает в подвижной системе координат О'ξηζ неизменное положение, то относительное движение тела представляет собой движение тела, имеющего одну неподвижную точку, или движение вокруг точки О'.

Скорость переносного поступательного движения равна скорости точки О' относительно неподвижных осей. Эту скорость можно определить по ее проекциям на неподвижные координатные оси, которые находятся из первых трех уравнений движения:

Таким образом, приходим к следующему заключению: движение свободного твердого тела в общем случае можно разложить на два движения:

1 – поступательное движение, скорость которого равна скорости произвольно выбранной точки О' тела, 2 – движение вокруг этой точки О'.

Так как относительное движение тела (движение относительно осей О'ξηζ) есть движение вокруг точки О', то это движение таково, что в каждый момент существует мгновенная ось вращения, вокруг которой тело вращается с некоторой угловой скоростью ω.

Это движение можно представить как качение без скольжения одного конуса (подвижного аксоида), неизменно связанного с движущимся телом, по другому конусу, который связан с осями О'ξηζ. Так как система осей О'ξηζ движется поступательно, то, следовательно, движение свободного твердого тела в общем случае можно представить как качение без скольжения одного конуса по другому, который движется поступательно. Эти два конуса имеют общую вершину О' и в каждый данный момент касаются вдоль общей образующей, по которой направлен вектор мгновенной угловой скорости ω.

Так как за начало О' подвижной системы осей О'ξηζ можно выбрать произвольную точку тела, то вышеуказанное разложение данного движения тела на два движения можно произвести бесконечным числом способов. При этом скорость переносного поступательного движения, равная скорости точки О', зависист от выбора этой точки. Модуль и направление вектора угловой скорости ω относительного вращения тела вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О', не зависят от выбора этой точки.