С войства операторов с учётом взаимосвязи с оператором

В итоге получим:

Или, например:

Теперь, зная, что , где - гамильтониан одночастичного состояния,

можем записать гамильтониан Бозе поля:

Гамильтониан Бозе поля можно в последующем использовать при взаимодействии этого поля с другими полями, и находить при помощи его спектры всевозможных значений энергии. Гамильтониан можно записать и в -представлении (проделайте это сами). Для этого нужно ввести оператор и сопряженный ему . Учитывая перестановочное соотношение для операторов и , получим:

Гамильтонианом Бозе поля в -представлении будет:

Таким образом, зная одночастичное состояние, мы переходим к полевому описанию Бозе частиц.

Всё это хотелось бы связать с наиболее часто используемым Бозе полем – электромагнитным полем. В классической физике мы имеем дело либо с полями такими, как например электромагнитное поле, либо с частицами, которые описываются согласно классической механике. Поля и частицы диаметрально противоположны между собой в рамках классической механики. Квантовая теория объединяет поля и частицы и придает им новый физический смысл.

Вспомним, как описывается электромагнитное поле. В основах описания электромагнитного поля лежат уравнения Максвелла. В курсе электродинамики вы, как правило, решаете такой тип задач, в которых вам важно знать силы, действующие на токи и заряды, и, как следствие этого, формулируются уравнения Максвелла для напряженности электрического и магнитного полей. Возникает вопрос, единственный ли это способ описания электромагнитного поля? Поля ведь можно описать с помощью потенциалов. Итак, в рамках классической электродинамики напряженности - это силовые характеристики полей, а потенциалы задают энергию и энергию взаимодействия полей. Откуда же и почему можно ввести потенциал? Первая самая существенная особенность - это некоторая асимметрия между электрическим и магнитным полями, заключающаяся в одном из уравнений Максвелла. Вы знаете, что:

Эту асимметрию попытался поправить Дирак. Он ввел понятие монополя, но экспериментально этот факт не нашел подтверждения. С другой стороны, если бы в правой части был не ноль, была бы нарушена более фундаментальная симметрия, которая получила название калибровочной симметрии полей. Она характерна не только для электромагнитного поля, но и для многих других полей, и это обстоятельство оказалось важным. Благодаря этому вводится понятие потенциала поля. Можно написать:

М ы всегда можем добавить или отнять градиент какой-то скалярной функции и от этого не изменится. Эта особенность и называется калибровочной симметрией. А теперь, если мы будем использовать квантовую теорию, можем задаться вопросом, что же является первичным: потенциалы или напряженности полей? Такой вопрос был поставлен Боном и Ароновым. Они предложили следующий мысленный эксперимент. Представьте себе традиционную интерференционную систему. Частица падает на экран - возникает интерференция.

В систему можно ввести точечный соленоид, направленный перпендикулярно к экрану. Он обладает тем свойством, что напряженности полей в любой точке оказываются одинаковыми как в отсутствии этого соленоида, так и при его присутствии, а потенциал будет отличаться. Такой эксперимент был поставлен, и оказалось, что система существенно меняет интерференционную картину (за счет точечного соленоида смещаются интерференционные максимумы). Это и получило название эффекта Аронова-Бона. Таким образом, с точки зрения исходных принципов квантовой теории естественно первичными являются потенциалы поля, поскольку они определяют гамильтониан системы и взаимодействие между частицами. Напряженности полей являются вспомогательными величинами, которые можно ввести по необходимости.

Это обстоятельство позволяет очень просто построить квантовую теорию электромагнитного поля.

Итак, запишем:

Неоднозначность выбора потенциала поля получила название калибровочная симметрия, и ей можно воспользоваться, чтобы упростить рассмотрение той или иной задачи. Как вы знаете, существует Кулоновская калибровка и калибровка Лоренца. Для свободного поля Кулоновская калибровка является наиболее подходящей. Для свободного электромагнитного поля напряженности полей являются поперечными, и потенциал нужно выбрать так, чтобы выполнялось свойство поперечности, то есть .

Тогда для свободного поля можно выбрать . Таким образом, мы имеем электромагнитное поле в свободном пространстве, которое задается только потенциалом с учетом Кулоновской калибровки. Ну а теперь фактически можно показать, что с динамической точки зрения мы имеем дело с совокупностью гармонических осцилляторов: волн мод поля. Эта особенность важна, поскольку в этом случае поле является Бозе полем. Если классическому полю можно сопоставить совокупность гармонических осцилляторов, то оно обязательно является Бозе полем. Такая связь была установлена и сейчас ей активно пользуются.

Запишем гамильтониан свободного электромагнитного поля в каких-то нормальных координатах. Итак, нужно разложить поле по модам. Существует две возможности: либо задать бесконечное пространство, либо задать объем и использовать физические граничные условия в связи с тем, что мы будем вводить бегущие волны, а затем перейти к свободному пространству, увеличивая объем (этот способ является наиболее экономным с точки зрения расчетов).

Для этого представим себе свободное электромагнитное поле, которое задается с помощью с учетом Кулоновской калибровки. Так как оно задано в объеме с физическими граничными условиями, то можно записать:

Волна имеет две независимые поляризации по и .

То, что поле можно представить, как совокупность гармонических осцилляторов, и частоты этих осцилляторов хорошо известны, следует из уравнений Максвелла:

В отсутствии токов:

Подставляя в последнее уравнение , получим уравнение гармонического осциллятора для амплитуды :

Таким образом, квантовая теория электромагнитного поля полностью вытекает из теории гармонического осциллятора. Учитывая что , запишем гамильтониан электромагнитного поля в канонической форме:

Особенность такого описания поля в том, что мы сразу можем ввести понятие энергии фотона с заданным импульсом или волновым вектором.

Введем обобщенную координату и обобщенный импульс :

Последнее выражение также называется гамильтоновой формой уравнений Максвелла для свободного электромагнитного поля. Теперь применим стандартные правила квантования. Поскольку и канонически сопряженные координаты и импульсы, то мы должны сопоставить им квантовую скобку Пуассона. После этого получаем квантовую теорию электромагнитного поля.

Запишем гамильтониан для гармонического осциллятора:

Для обобщенных координат:

вместо гамильтониана, который был для гармонического осциллятора, имеем гамильтониан для совокупности независимых гармонических осцилляторов:

Перестановочное соотношение остается в силе:

Теперь запишем оператор числа частиц:

Фактически мы пришли к той физической интерпретации, которая была предложена еще Эйнштейном. Плоской монохроматической волне ставятся в соответствие кванты света, которые в последующем назвали фотонами. Квантовый характер электромагнитного поля заключается в том, что в процессе взаимодействия рождаются и уничтожаются фотоны.