- •1. Понятие о первообразной и неопределенном интеграле.
- •2. Основные свойства неопределенного интеграла.
- •3. Основные методы интегрирования. Метод замены переменной интегрирования.
- •4. Основные методы интегрирования. Интегрирование по частям.
- •5. Интегрирование простейших иррациональностей.
- •6. Понятие определенного интеграла.
- •7. Геометрический смысл определенного интеграла.
- •8. Основные свойства определенного интеграла.
- •11. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •9. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- •22. Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных.
- •28. Понятие знакочередующегося ряда. Теорема Лейбница.
- •31. Классическое определение вероятности.
- •32. Свойства вероятности.
- •33. Понятие относительной частоты. Статистическая вероятность.
- •34. Геометрические вероятности.
- •35. Основные формулы комбинаторики.
- •36. Теоремы сложения вероятностей.
- •37. Теоремы умножения вероятностей.
- •38. Формула полной вероятности.
- •39. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса.
- •40. Повторение испытаний. Формула Бернулли.
- •41. Повторение испытаний. Локальная теорема Лапласа.
- •42. Повторение испытаний. Интегральная теорема Лапласа.
- •45. График функции распределения.
- •46. Плотность распределения вероятностей нсв. Свойства плотности распределения.
- •47. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.
- •48. Математическое ожидание дсв.
- •49. Свойства математического ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.
- •50. Дисперсия дискретной случайной величины.
- •51. Свойства дисперсии. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях.
- •52. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
- •53. Понятие о теоретических моментах распределения.
- •Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.
- •81. Статистическая проверка параметрических гипотез. Ошибки первого и второго рода. П.2. Ошибки первого и второго рода.
- •Проверка гипотез равенства математических ожиданий двух случайных величин (большие независимые выборки).
- •89. Геометрическая интерпретация и графическое решение злп.
- •90. Понятие симплексного метода.
- •91. Понятие двойственности. Построение пары взаимно двойственных
- •92. Первая теорема двойственности и ее экономическое содержание.
- •93. Вторая теорема двойственности и ее экономическое содержание.
- •1. Понятие о первообразной и неопределенном интеграле.
- •2. Основные свойства неопределенного интеграла.
- •3. Основные методы интегрирования. Метод замены переменной интегрирования.
37. Теоремы умножения вероятностей.
Два соытия называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло другое или нет. В противном случае события будут зависимыми.
Рассмотрим примеры:
1) Два стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания каждого из них не зависит от промаха или попадания другого стрелка. Здесь имеем независимое соытие.
2) В урне имеются чёрные и белые шары. Поизводим испытание, вытаскивая наугад по одному шару, не возвращая его обратно.Вероятност появления, например, черного шара во втором испытании зависит от того, черный или белый шар появился в первом испытании. Следовательно, имеем зависимое испытание.
Определение 20.6. Произведением двух событий А и В называют событие А*В, состоящее в совмечтном появлении (совмещении) этих событий.
Например, если А – деталь стандартная, В – деталь окрашенная, то А*В – деталь стандартная и окрашенная.
Произведением нескольких событий называют события, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Например,, если А, В, С – появление «герба» соответственно при первом, втором и третьем росании монеты, то А*В*С – появвление гера во всех трёх испытаниях.
Определение 20.7. Вероятность события А, найденная при условии, что событие В произошло, Называется условной вероятностью и обозначается РВ(А).
Теорема 20.5. (Теорема умножения вероятностей)
Вероятность совместного появления двух событий равно произведению вероятности одного из нихна условную вероятность другого, вычесленную в предположении, что первое событие уже наступило.
Р(АВ) = Р(А)*РА(В) = Р(В)*РВ(А) (20.10)
Если А и В – независимые события, то РА(В) = Р(В), РВ(А) = Р(А) и теорема умножения вероятностей имеет следующий вид:
Р(АВ) = Р(А)*Р(В) (20.11)
Таким образом, вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.
Пример 20.8. Студент разыскивает нужную ему формулу в двух справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике равна 0,8; во втором – 0,7. Найти вероятность того, что формула содержится:
а) только в одном справочнике, б) в двух справочниках, в) хотя бы в одном справочнике.
Решение. Введем обозначение событий. А – событие, состоящее в том, что формула содержится в первом справочнике (А – не содержится в первом справочнике) , В – формула содержится во втором справочнике (В – не содержится во втором справочнике)
а) С – формула содержится только в одном справочнике
С = АВ+АВ
Применим теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий.
Р(С) = Р(А)*Р(В) + Р(А)*Р(В) = 0,8*0,3+0,2*0,7=0,38
б) D – формула содержится в двух справочниках
По формуле умножения вероятностей для двух независимых событий имеем:Р(D) = Р(АВ) = Р(А)*Р(В) = 0,8*0,7 = 0,56
в) Е – формула содержится хотя бы в одном справочнике
Е –формула не содержится ни в одном справочнике
Р(Е)= 1-Р(Е) = 1- Р(А)*Р(В) = 1-0,2*0,3=0,94
Иначе: Р(Е) = Р(С)+ Р(D)=0,38+0,56=0,94
Теорема 20.6. (теорема о вероятности появления хотя бы одного события)
Вероятность появления хотябы одного из событий А1, А2,…,Аn, независимыз в совокупности равно разнице между единицей и произведению вероятностей противоположных событий.
Ǡ1, Ǡ2, ... Ǡn; P(A) = 1 - q1q2…qn (20.12)
Пример 20.9. Вероятности попадания в цель из трёх орудий таковы: р1=0,8, р2=0,7, р3=0,9.
Найти вероятность хотя бы одного попадания (события А) при одном залпе из всех орудий.
Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельы из других орудий.Поэтому рассматриваемое событие А1 (попадание первым орудием), А2 (попадание второго орудия), А3 ( попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятность событий, противоположных событиям А1, А2, А3 (т.е вероятности промахов) соответственно равны:
q1=1-p1= 1-0,8=0,2; q2=1-p2=1-0,7=0,3; q3=1-p3=1-0,9=0,1
Искомая вероятность:
Р(А)=1-q1q2q3 = 1-0,2*0,3*0,1=0,994
Замечание. В частности, если события А1, А2,…,Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий находится по формуле:
Р(А)=1-qn