Свободные колебания материальной точки
Прямолинейные колебания материальной точки – колебательное движение материальной точки - движение, происходящее при условии: имеется восстанавливающая сила, стремящаяся вернуть точку в положение равновесия при любом отклонении ее из этого положения.
Свободные колебания – происходят под действием только восстанавливающей силы.
Выберем систему координат с центром в положении равновесия (точке O)
и запишем диф.уравнение движения точки
в проекции на ось x :
.
Здесь
- проекция силы упругости. Сила упругости
пружины – пример линейной восстанавливающей
силы. Она направлена всегда к положению
равновесия, величина прямо пропорциональна
л
инейному
удлинению (укорочению) пружины, равному
отклонению тела от положения равновесия:
с – коэффициент жесткости пружины,
численно равный силе, под действием
которой пружина изменяет свою длину на
единицу, измеряется в Н/м в системе СИ.
Приведем полученное уравнение к стандартному (каноническому) виду:
.
Данное уравнение является однородным линейным дифференциальным
уравнением II порядка, вид решения которого определяется корнями
характеристического уравнения
.Корни
характеристического уравнения мнимые
и равны
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Скорость точки
Начальные условия
Определим них постоянные:
Откуда
Итак, уравнение свободных колебаний имеет вид:
Из уравнения очевидно, что причиной возникновения свободных колебаний является начальное смещение x0 и/или начальная скорость v0.
Найденное уравнение можно представить одночленным выражением:
,где a – амплитуда, b
- начальная фаза.
Новые константы a и b – связаны с постоянными C1 и C2 соотношениями:
и обратными к ним
Поэтому, с учетом начальных условий,
можно записать
Таким
образом, движение – гармоническое
колебание с найденной амплитудой
,круговой
частотой
и периодом
4 Затухающие колебания (движения) материальной точки –
движение материальной точки, которое происходит
при наличии восстанавливающей силы и силы сопротивления движению.
Зависимость силы сопротивления движению от смещения или скорости определяется физической природы среды или связи, препятствующей движению.
Наиболее простой зависимостью является линейная зависимость
от скорости (вязкое сопротивление):
a
- коэффициент вязкости
Учтем еще, что - проекция силы упругости. Тогда дифференциальное уравнение движения
запишется
или, после преобразований к каноническому
виду,
.
Характеристическое уравнение
имеет корни
Общее решение данного дифференциального уравнения имеет различный вид в зависимости от значений корней:
1. n < k
– случай малого вязкого сопротивления:
- корни комплексные, различные.
В этом случае решение имеет вид
или
То есть имеют место затухающие колебания.
Частота колебаний:
.
Период
Декремент
Логарифмический
декремент колебаний:
Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени.
2. n > k – случай большого вязкого сопротивления:
-
корни действительные, различные
Решение имеет вид
или
Это функции апериодические
3. n = k
:
- корни действительные, кратные.
Решение
.
Эти функции также апериодические:
Типичный вид графиков решений в случаях 2 и 3
5 Вынужденные колебания материальной точки .Резонанс.
Наряду с восстанавливающей силой , действует периодически изменяющаяся сила, называемая возмущающей силой, а при учете сопротивлений еще и сила типа вязкого трения.
Пока не учитывается сопротивление,
уравнение движения
.
И в каноническом виде оно запишется так
Решение этого неоднородного
дифференциального уравнения состоит
их двух частей x = x1
+ x2 : x1
– общее решение соответствующего
однородного уравнения
и x2 – частное
решение неоднородного уравнения
Очевидно, что
А
частное решение x2
подбираем в виде правой части:
Находим, что
В итоге полное решение:
Постоянные С1 и С2,
определяются из начальных условий.
Таким образом, при одновременном действии восстанавливающей и возмущающей сил материальная точка совершает сложное колебательное движение, представляющее собой результат сложения (наложения) свободных (x1) и вынужденных (x2) колебаний.
Если p < k (вынужденные колебания малой частоты),
то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы:
Если p > k (вынужденные колебания большой частоты),
то фаза колебаний противоположна фазе возмущающей силы:
Вместо графика зависимости амплитуды от частоты, обычно строят зависимость коэффициента динамичности от отношения частот.
Коэффициент динамичности – отношение амплитуды вынужденных колебаний
к статическому отклонению точки под
действием постоянной силы H
= const:
.
Статическое отклонение можно найти из
уравнения равновесия:
;откуда
.Окончательно
.
Таким образом, при p < k (малая частота вынужденных колебаний)
коэффициент динамичности:
.
При p > k (большая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности:
.
Резонанс – возникает, когда частота вынужденных колебаний совпадает с частотой собственных колебаний (p = k).
Дифференциальное уравнение колебаний
при равенстве частот:
.
В этом случае находим решение в виде
Вынужденные колебания при резонансе имеют амплитуду, неограниченно возрастающую пропорционально времени.
6 Влияние сопротивления движению при вынужденных колебаниях.
Дифференциальное уравнение при наличии вязкого сопротивления имеет вид:
Общее решение выбирается из таблицы в зависимости от соотношения n и к.
Ч
астное
решение возьмем в виде
и вычислим производные:
Подставим в дифференциальное уравнение:
Относительное движение материальной точки – Положим, что подвижная (неинерциальная) система координат Oxyz движется по некоторому закону относительно неподвижной (инерциальной) системы координат O1x1y1z1. Движение материальной точки M (x, y, z) относительно подвижной системы Oxyz– относительное, относительно неподвижной системы O1x1y1z1– абсолютное. Движение подвижной системы Oxyz относительно неподвижной системы O1x1y1z1– переносное движение.
О
сновное
уравнение динамики:
А
бсолютное
ускорение точки:
П
одставим
абсолютное ускорение точки в основное
уравнение динамики:
Перенесем слагаемые с переносным и кориолисовым ускорением в правую часть:
П
еренесенные
слагаемые имеют
размерность сил и рассматриваются
как соответствующие силы инерции,
равные:
Тогда относительное движение точки можно рассматривать как абсолютное, если к действующим силам добавить переносную и кориолисову силы инерции:
В проекциях на оси подвижной системы координат имеем:
