4Исследование частотных характеристик замкнутой системы
Выше было показано построение ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы. Очевидно, что это достаточно трудоемкий процесс. В этой главе ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой системы будут построены с помощью математического пакета Mathcad (Приложение Б 6), который выполняет все те же рутинные операции за более короткое время.
Напомним, что ЛАЧХ замкнутой системы, это зависимость
L=L()=20 lg N(),
где N() – модуль показательной формы частотной передаточной функции замкнутой системы.
ЛФЧХ замкнутой системы это зависимость
()=arctg(Q()/P()),
где Q() – мнимая часть алгебраической формы частотной передаточной функции замкнутой системы;
P() – действительная часть алгебраической формы частотной передаточной функции замкнутой системы.
На рисунке 4.1 представлены ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой системы.
Рисунок 4.1 ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой системы
Определим амплитудно-фазовые искажения на частоте
0=3,4 рад/с (или 0,53 дек), заданной в техническом задании. Так как масштаб графика не позволяет сделать оценку на глаз, представим его в более крупном масштабе (рисунок 4.2).
Рисунок 4.2 ЛАЧХ и ЛФЧХ замкнутой системы
На рисунке 4.2 исходная частота показана штриховой линией. По укрупненному масштабу видны искомые искажения, в частности искажение по модулю
. (4.1)
Искажение по фазе
=0,015 рад=0,86.0 (4.2)
5Исследование замкнутой системы в установившемся режиме
В установившихся режимах необходимо, чтобы регулируемая величина была достаточно близка к заданному значению. Чем меньше рассогласование, тем выше качество регулирования. Точность оценивается отсутствием или наличием рассогласования в различных установившихся режимах и коэффициентами ошибок.
Так как в математической модели СУ рисунка 1.1 отсутствуют возмущающие воздействия, ошибка имеет лишь одну составляющую, называемую ошибкой воспроизведения задающего воздействия (или ее еще называют ошибкой слежения). Функцию данной ошибки можно достаточно точно воспроизвести, используя метод коэффициентов ошибок.
Для вычисления коэффициентов ошибок, будем использовать выражение (1.5). Подставим в (1.5) (1.7) с учетом (2.6)
. (5.1)
Будем исследовать ошибку при линейном задающем воздействии вида
. (5.2)
где A – угловой коэффициент, данный по условию.
В общем случае функция ошибки воспроизведения задающего воздействия имеет вид [1, стр. 288]
(5.3)
где Сi – коэффициенты ошибок.
Так как (5.2) имеет только одну ненулевую производную, то функция ошибки для линейного сигнала запишется
. (5.4)
Каждый i-ый коэффициент определяется через нахождение i-ой производной функции (5.1) по s в точке s=0. Но в нашем случае можно упростить решение, разделив числитель (5.1) на его знаменатель. При этом результатом деления и будут коэффициенты ошибок. Ниже представлен результат деления.
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
Подставив коэффициенты ошибок в (5.4) получим
. (5.5)
То же самое получится, если из (1.5) выразить ошибку и сделать обратное преобразование Лапласа, т.е.
. (5.6)
В приложении Б 7 показан вывод выражения (5.6).
На рисунке 5.1 изображены экспериментальная (5.6) и расчетная (5.5) графики ошибок.
Расхождения графиков обусловлено погрешностью вычисления коэффициентов при полиноме.
Теперь исследуем СУ при отработке гармонического сигнала
. (5.7)
Реакцию замкнутой системы можно получить по формуле
.
Рисунок 5.1 Экспериментальная и расчетная ошибки воспроизведения задающего воздействия при отработке линейного сигнала
В приложении Б 8 показан вывод аналитической формы реакции СУ на гармонический сигнал. На рисунке 5.2 показаны графики входной и выходной величины
Рисунок 5.2 Реакция замкнутой системы на гармонический сигнал
Определим амплитудное и фазовое рассогласование. Напомним, что амплитудно-фазовые рассогласования не зависят от входа и определяются только структурой и особенностями системы. Физический смысл амплитудного рассогласования имеет вид
.
Пользуясь средствами Mathcad (Приложение Б 8) получаем значения амплитуд входа и выхода и время их появления
.
Пользуясь этими значениями получаем амплитудное рассогласование
. (5.8)
Фазовое рассогласование
. (5.9)
Если теперь сравнить (4.1) с (5.8) и (4.2) с (5.9), то можно обнаружить, что они примерно равны.
Наконец получим график вынужденной составляющей ошибки при отработке гармонического сигнала. Функция этой ошибки может быть получена из обратного преобразования Лапласа (Приложение Б 9)
.
Рисунок 5.3 Вынужденная составляющая ошибки при отработке гармонического сигнала