Затухающие механические колебания. Дифференциальное уравнение и его решение. Логарифмический декремент затухания. Добротность.
Все реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают - их амплитуда постепенно уменьшается. Во многих случаях, когда отсутствует сухое трение, в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание механических колебаниях, пропорциональны скорости. Эти силы, независимо от их происхождения, называют силами сопротивления.
|
(7.17) |
где r - коэффициент сопротивления, v -
скорость движения. Запишем второй закон
Ньютона для затухающих колебаний тела
вдоль оси ОХ
или
|
(7.18) |
Перепишем это уравнение в следующем
виде:
и обозначим:
где
представляет
ту частоту, с которой совершались бы
свободные колебания системы при
отсутствии сопротивления среды, т.е.
при r = 0. Эту частоту называют собственной
частотой колебания системы; β - коэффициент
затухания. Тогда
|
(7.19) |
Будем искать решение уравнения (7.19) в
виде
где
U - некоторая функция от t.
Продифференцируем два раза это выражение
по времени t и, подставив значения первой
и второй производных в уравнение (7.19),
получим
Решение этого, уравнения существенным
образом зависит от знака коэффициента,
стоящего при U. Рассмотрим случай, когда
этот коэффициент положительный. Введем
обозначение
тогда
С вещественным ω решением этого уравнения,
как мы знаем, является функция
Таким образом, в случае малого сопротивления
среды
,
решением уравнения (7.19) будет функция
|
(7.20) |
График этой функции показан на рис. 7.8.
Пунктирными линиями показаны пределы,
в которых находится смещение колеблющейся
точки. Величину
называют
собственной циклической частотой
колебаний диссипативной системы.
Затухающие колебания представляют
собой непериодические колебания, т.к,
в них никогда не повторяются, например,
максимальные значения смещения, скорости
и ускорения. Величину
обычно
называют периодом затухающих колебаний,
правильнее - условным периодом затухающих
колебаний,
Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих друг за другом через промежуток времени, равный периоду Т, называют логарифмическим декрементом затухания.
Обозначим через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Тогда
откуда
Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитуда убывает в е раз. Величина τ называется временем релаксации.
Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз, Тогда
Следовательно, логарифмический декремент затухания δ есть физическая величина, обратная числу колебаний N, по истечению которого амплитуда убывает в е раз