Нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при изгибе и их эпюры. Основные гипотезы теории изгиба балок.

Для определения нормальных напряжений σz в произвольно выбранной точке К поперечного сечения прямого стержня. Также в площадке развиваются напряжения по осям x и y, но они намного меньше σz, поэтому в расчётной схеме при определении деформации еz этими напряжениями пренебрегают. Принимаем в обобщённой формуле закона Гука: , если мысленно разделит стержень на продольные волокна, то следующая гипотеза говорит о том, что в каждой точке стержня продольная деформация волокна развивается также как при одноосном растяжении - сжатии волокна, и определяется только нормальным напряжением по оси z.

Гипотеза о ненадавливании продольных волокон: Волокна стержня, параллельные его оси испытывают деформации растяжения-сжатия в продольном направлении и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении.

Гипотеза плоских сечений при изгибе: каждое поперечное сечение стержня, плоское до деформации, остаётся плоским и нормальным к искривлённой оси стержня после деформации. (это положение позволяет рассматривать поперечное сечение стержня как бесконечно тонкое плоское тело, имеющее в отношении перемещений конечное число свободы.

Перемещение w будем считать положительным, если оно направлено в положительном направлении оси z, углы поворота вокруг осей x и y положительны, если нормаль к сечению, вместе с сечением поворачивается по кратчайшему угловому пути от оси z соответственно к осям y и x. При проецировании сечения повёрнутого на угол Fi_x, в виду малости угла Sin(Fi_x)=Fi_x, найдём, что произвольная точка, имеющая координату y>0, получит отрицательное перемещение (-Fi_x*y), так как это перемещение противоположно оси z Суммарное перемещение будет следующим:

, пусть , тогда формула примет вид…. В общем случае напряжения сигм_z в поперечном сечении изменяются по закону плоскости, далее находятся неизвестные постоянные: , получаем формулу для определения нормальных напряжений при изгибе: Формула подходит только для осей, проходящих через центр тяжести сечения (центральные) и являющихся для него главными. Плоскости x-z и y-z содержащие ось стержня и одну из главных осей сечения называются главными плоскостями изгиба стержня. Правило знаков: растягивающая сила N положительна, изгибающие моменты Мx и My также положительны, если они в точке, принадлежащей первой четверти осей координат, вызывают растягивающие напряжения.

Пусть во всех поперечных сечениях стержня N=0,My=0, My не равно нулю, стержень изгибается в главной плоскости yz Рассмотрим более детально плоский изгиб участка стержня моментом Mx=cost. Такой случай нагружения называется чистым изгибом. Нормальные напряжения в соответствии с предыдущей формулой определяются по формуле: .

- условие прочности для нормальных напряжений.

Косой изгиб. Напряжённо-деформированное состояние при косом изгибе.

Предположим, что стержень нагружен так, что суммарный изгибающий момент Ми в сечении действует в плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей, а продольная сила N=0. Такой случай называют косым изгибом (рис). Момент Ми представим в виде вектора, перпендикулярного плоскости нагружения F_F, в которой действует этот момент. Разложим его на составляющие: Mx=Mи*cos(alpha);My=-Ми*sin(alpha) («-» означает что второй момент сжимает сечение в первой четверти). В связи со сказанным, напряжения будут определяться по формуле: . Координаты нулевой линии обозначим Xn и Yn, из условия σ=0, получим уравнение этой линии при косом изгибе. Она проходит через начало координат, а её наклон определяется тангенсом угла: tg(betta)=Yn/Xn. Наклонное положение нулевой линии и определяет название «косой изгиб» Условие прочности для косого изгиба: , где X,Y – координаты точки, наиболее удалённой от нулевой линии (находиться при параллельном её переносе по сечению).