14. Перечислите свойства операций сложения и умножения событий.

    1)   Ω + A = Ω ,

    2)   ΩA = A ,

    3)   AA = A (но не A2) ,

    4)   A + A = A (но не 2A) ,

    5)   A + Ж = A ,

    6)   AЖ = Ж ,

    7)   ( A \ B )( B \ A ) = Ж ,

    8)   A + B = B + A ,

    9)   AB = BA ,

    10)   C(A+B) = CA + CB ,

    11)   A + B = A•B, A + B = AB,

    12)   A = A, A + A = Ω.

15. Сформулируйте и докажите теорему сложения вероятностей.

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство:

Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ — число исходов, благоприятствующих событию A; m₂— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁ + m₂. Следовательно,

Р (A + В) = (m₁ + m₂) / n = m₁ / n + m₂ / n.

Приняв во внимание, что m₁ / n = Р (А) и m₂ / n = Р (В), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

14. Сформулируйте следствия из теоремы сложения вероятностей (о сумме вероятностей событий, образующих полную группу, и сумме вероятностей противоположных событий).

Следствие 1: Если события  образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

14. Дайте понятие условной вероятности. Запишите формулу нахождения условной вероятности события.

Определение. Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

.

В частности, отсюда получаем 

14. Сформулируйте теорему умножения вероятностей.

Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступил

14. Какое событие называется зависимым, а какое независимым?

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

14. Как найти произведение двух независимых событий?

Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению этих вероятностей:  .

14. Сформулируйте теорему о вероятности наступления хотя бы одного из независимых событий. Как найти эту вероятность в случае, когда все независимые события имеют одинаковую вероятность?

Вероятность появления хотя бы одного из событий А₁ , А₂ , ..., А_n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р (A) = 1 — q₁q₂ ... q_n.

Если события А₁ , А₂ , ..., А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A) = l — qⁿ. 

24. Какие два события называются совместными? Сформулируйте теорему сложения вероятностей совместных событий. Приведите частные случаи теоремы.

События называется совместными если появление одного из них не исключает появление остальных.

Теорема. Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB) 

Частный случай: если

 то

24. В чем заключается формула полной вероятности?

Теорема: вероятность события A, которое может наступить в результате появления одного из K несовместных событий, образующих полную группу равна p(A)=∑ki=1p(Bi)p(A∖Bi) сумме произведений вероятности каждого из этих событий на условную вероятность события A. Bi - гипотезы,

24. Запишите формулу Байеса.

, где

 — априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

 — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

 — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

 — полная вероятность наступления события B.

24. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность   того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна:  , где  .

24. Что из себя представляет полигон распределения вероятностей?

Полигон распределения - ломаная линия, построенная на графике и характеризующая изменение вероятностей различных исходов событий при повторных испытаниях. 

24. Сформулируйте теорему Пуассона, локальную и интегральную теоремы Лапласа дня повторных независимых испытаний.

Теорема Пуассона: Если вероятность pn→0 , при n→∞ , то вероятность P_n(k) (в n испытаниях событие наступает ровно k раз):

P_n(k)≈ λ^ke^−λ/k!, 

где λ=n·p

Локальная Теорема Лапласа: Если число испытаний велико (n→∞) , вероятность появления события постоянна и отлична от нуля и от единицы, то вероятность того, что в n испытаниях событие наступить ровно k раз равна (чем больше n, тем точнее) следующему выражению: P_n(k)≈1/√2π·e^{−x^2/2}/√npq, где x=k−np/√npq − локальная функция Лапласа.

Кроме того, φ(x) - функция четная, т.е. φ(−x)=φ(x) 

Интегральная Теорема Лапласа: Пусть проводится n независимых испытаний, причем вероятность появления события p постоянна и отлична от нуля и от единицы, то вероятность того, что в n испытаниях событие наступит от k1 до k2 раз приблизительно равна:

P_n(k1,k2)≈ Φ(x)=2/√2π* ^x∫₀ e^{-x^2/2}dx, где x′=k1−np/√npq; x′′=k2−np/√npq

Φ(x′′)−Φ(x′), где;

Φ(−x)=−Φ(x) (функция нечетная)

24. Дайте понятие случайной величины.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.

24. Какая случайная величина называется дискретной (прерывной), а какая непрерывной?

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

24. Что называется законом распределения случайной величины? Перечислите способы задания закона распределения.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде: таблицы, аналитически и графически.

24. Перечислите математические операции, выполняемые над случайными величинами. Дайте определение каждой математической операции.

Определение. Произведением случайной величины на постоянную величину называется случайная величина, принимающая значения: ax1, ax2,… с теми же вероятностями :

:				…
				…

Определение: Величиной X^m называется величина, принимающая значение X^m_k с теми же вероятностями:

	X1m	X2m	…	Xkm
			…

Определение. Суммой (разностью, произведением) случайных величин Х и Y называется такая случайная величина ( , ), которая принимает значение в некотором испытании, если значения и случайных величин Х и в этом испытании таковы, что ( ).

34. Что называется математическим ожиданием случайной дискретной величины? Перечислите свойства математического ожидания.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно.

С точки зрения вероятности можно сказать, что математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания

1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

34. Дайте понятие дисперсии дискретной случайной величины. Перечислите свойства дисперсии.

Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Свойства дисперсии:

1)Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

34. Как найти дисперсию числа появлении события в независимых испытаниях?

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p. Тогда дисперсия числа появлений со­бытия в этих испытаниях вычисляется по формуле:

D(Х)=npq, n – число испытаний, p – вероятность наступления события,   q – вероятность не наступления события

34. Что такое средне квадратическое отклонение?

Средним квадратическим отклонением  случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

34. Законы распределения дискретной случайной величины:

а) биноминальное распределение

Случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами и , если ее закон распределения имеет вид :

Х :		0	1	2	…		,
					…

где вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

– положительное целое число, ;

M(x) = np

D(x) = npq

б) распределение Пуассона

Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона с параметром , если ее закон распределения имеет вид:

Х :		0	1	2	…	,
					…

где , – положительное число;

M(x) = D(x) =

в) геометрическое распределение

Пусть   — бесконечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

Построим случайную величину  - количество «неудач» до первого «успеха». Распределение случайной величины   называется геометрическим с вероятностью «успеха»  , что обозначается следующим образом:  ;

г) гипергеометрическое распределение

Пусть имеется конечная совокупность, состоящая из   элементов. Предположим, что   (defective) из них обладают нужным нам свойством. Оставшиеся   этим свойством не обладают. Случайным образом из общей совокупности выбирается группа из   элементов. Пусть   - случайная величина, равная количеству выбранных элементов, обладающих нужным свойством. Тогда функция вероятности   имеет вид:

,

где   обозначает биномиальный коэффициент. Пишем:  .

Как найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины по каждому закону распределения?

34. Сформулируйте определение функции распределения непрерывной случайной величины. Перечислите основные свойства этой функции.

Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}.