38.Лнду 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
Пусть
в уравнении
f(x)
(6.1)
коэффициенты постоянны, т.е. уравнение имеет вид:
f(x)
(7.1)
где
.
Рассмотрим
метод отыскания частного решения
уравнения (7.1) в случае, когда правая
часть f(x)
имеет специальный вид. Это метод
называется методом неопределенных
коэффициентов и состоит в подборе
частного решения в зависимости от вида
правой части f(x).
Рассмотрим правые части следующего
вида:
f(x)
,
где
– многочлен степени
,
причем некоторые коэффициенты, кроме
,
могут равняться нулю. Укажем вид, в
котором надо брать частное решение в
этом случае.
Если число
не является корнем характеристического
уравнения для уравнения (5.1), то частное
решение записываем в виде:
,
где
– неопределенные коэффициенты, которые
подлежат определению методом
неопределенных коэффициентов.
Пример
1.
Найти общее решение уравнения
.
Решение.
Для
уравнения
составляем характеристическое уравнение:
.
Откуда получаем
,
.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения есть
.
Правая часть заданного уравнения f(x)
имеет специальный вид (случай 1), причем
не является корнем характеристического
уравнения, поэтому частное решение ищем
в виде:
,
где
– неопределенные коэффициенты. Найдем
производные первого и второго порядков
и подставим их в заданное уравнение:
.
Обе
части сокращаем на
и приравниваем коэффициенты при
одинаковых степенях
в левой и правой частях равенства
Из
полученной системы уравнений находим:
.
Тогда
,
а общее решение заданного уравнения
есть:
.
Если является корнем кратности
соответствующего характеристического
уравнения, то частное решение ищем в
виде:
,
где – неопределенные коэффициенты.
Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть
известна функция 
и
требуется найти длину дуги, заданной
функцией
,
где 
.
Для
определения длины дуги 
необходимо
вычислить определенный
интеграл:
Рассмотрим случай параметрического задания кривой:
где 
.
В этом случае для определения длина
дуги
вычисляется определенный
интеграл:
Рассмотрим
случай, когда кривая задается в полярных
координатах 
где 
.
Тогда для определения длины
дуги
вычисляется
следующий определенный
интеграл:
Приложения определенного интеграла.
1. Вычисление площади криволинейной трапеции.
11. ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО БИНОМА
Выражение
вида,
где m,
n, p, a, b -
постоянные числа, называемые дифференциальным
биномом.
Теорема П. Л. Чебышева.
Интеграл 
может
быть выражен через элементарные функции
в следующих случаях:
1) p - есть целое число,
2) 
-
целое число,
3) 
-
целое число,