Сходящиеся, абсолютно сходящиеся и условно сходящиеся комплексные ряды
Выражение вида
,
где
,
,
,
называется комплексным числовым
рядом.
Величина
называется частичной суммой ряда
,
а числа
–
его элементами.
Если существует конечный предел
,
то говорят, что этот ряд сходится и
число
называют его суммой. В противном случае
ряд
расходится.
Сходимость комплексного ряда
к сумме
равносильна сходимости двух вещественных
рядов
и
к
суммам А и В соответственно.
Если сходится ряд
,
составленный из модулей элементов ряда
,
то и этот ряд также сходится. В этом
случае ряд
называют абсолютно сходящимся.
Ряд называют условно сходящимся, если этот ряд сходится, но ряд расходится.
Абсолютная сходимость ряда влечет за собой сходимость обоих рядов и .
Благодаря этому, для комплексных рядов сохраняет свою силу, например, признак Даламбера.
При исследовании на сходимость числовых рядов с комплексными элементами предлагается следующая методика решения:
для ряда , где , составить ряд и изучить его на сходимость;
в случае отсутствия абсолютной сходимости изучить ряды и .
Функции комплексной переменной как суммы абсолютно сходящихся степенных рядов. Формула Эйлера
Ряд вида
,
где
–
комплексные числовые коэффициенты, а
z
– переменная, изменяющаяся во всей
комплексной плоскости, называют
степенным.
По аналогии со степенными рядами для
действительной переменной, установлено
существование такого числа
,
что для
(если
)
ряд
абсолютно сходится, а для
(если
)
ряд расходится. Таким образом, если
и конечно, то степенной ряд абсолютно
сходится внутри круга радиуса R
с центром в начале координат и расходится
вне этого круга. Например, с помощью
признака Даламбера, изучим на абсолютную
сходимость ряд
.
□ Здесь
,
,
тогда
при любом z.
Значит, изучаемый ряд сходится абсолютно
для
.Ранее было установлено, что при любом вещественном x имеет место разложение
.
Если в этом ряде заменить вещественную переменную x комплексной переменной
,
то получится ряд
,
про который мы установили, что он
сходится, т.е. имеет определенную
конечную сумму, во всей плоскости
комплексной переменной. Его сумму и
принимают, по определению, за значение
показательной функции
при любом комплексном z,
т.е. полагают
,
.
■Используя это определение, можно показать, что для любых
и
справедливо равенство:
.
Пусть , где
.
Тогда
.
Если в ряд для подставить
вместо z,
то получим
,
или, отделяя вещественную часть от
мнимой,
.В полученных рядах легко узнать разложения для
и
и, таким образом, получить замечательную
формулу:
,
которую называют формулой
Эйлера.
Итак, если
,
то
.