2.6. Однокритериальные модели принятия решений при определенности и стохастической неопределенности

Однокритериальные модели принятия решений при полной определенности обычно формулируются следующим образом:

Максимизировать (или минимизировать) некоторый функционал F, отражающий критерий принятия решений, на множестве допустимых альтернатив D. В формульном виде эта задача может быть поставлена как

F(X) max

XD

где Х - допустимая альтернатива.

Найденное в результате решение задачи и будет являться решением, которое будет рекомендовано менеджеру. Частным примером таких задач, являются задачи линейного программирования, которые нашли широкое применение для определения оптимального способа распределения дефицитных ресурсов. В наиболее общем виде задача линейного программирования выглядит следующим образом:

FiXi  max

i

ijXi < = j , j 1: М

i

Xi=>0, i 1: N

где Fi- значение i-ой компоненты линейного функционала (например, цена i-го продукта);

Аij - ij-ый элемент матрицы (например, удельный расход j-го сырья для производства одной единицы i -го продукта)

Вj - j-ый элемент вектора ограничений (например, предельно допустимый расход j-го вида сырья за период)

Xi - i-ая компонента вектора переменных (например, выпуск i-ой продукции за период)

В крупных фирмах используются следующие типичные задачи линейного программирования

Таблица 2.2. Типовые задачи линейного программирования, решаемые в крупных фирмах

Название задачи	Укрупненная постановка задачи
Укрупненное планирование производства	Составление графиков производства, минимизирующих издержки, с учетом основных ресурсных ограничений
Планирование ассортимента изделий	Определение объема и ассортимента продукции, максимизирующего прибыль (доход) с учетом ограничений на потребности в ресурсах
Маршрутизация производства	Определение технологического маршрута для изделия, минимизирующего издержки (или время) с учетом ограничений на издержки и производительность оборудования
Оптимизация расхода материалов	Определение способов раздела заготовок, минимизирующих расход сырья, с учетом необходимости соблюдения условий комплектности
Календарное планирование	Составление календарных графиков производства, минимизирующих издержки, с учетом основных ресурсных ограничений
Планирорование отгрузки продукции	Составление графиков отгрузки, минимизирующих издержки (максимизирующих прибыль), с учетом потребности торговых точек в продукции
Планирование транспортировки	Определение графиков развозки с учетом минимизации издержек и потребности получателей
Планирование местоположения новых точек	Определение наилучших точек размещения производства с учетом минимизации затрат на транспортировку сырья и готовой продукции при ограничениях на возможности поставки сырья и потребление продукции

Формулировка задач в условиях стохастической неопределенности существенно зависит от того, однократный или многократный выбор осуществляет менеджер. Выбор называется однократным, если выполняется одно из двух:

задача решается только один раз и в дальнейшем ее решать не собираются (например, сделать только одну ставку на тотализаторе и больше ее не возобновлять игру вне зависимости от результата);

в результате принятого решения ситуация может измениться настолько радикально, что с большой вероятностью повторных выборов не будет (например, если ставки в тотализаторе очень высоки и в случае неудачи игрок потеряет все наличные деньги и в случае продолжения игры ему придется принимать решения уже в совершенно другой ситуации).

В остальных случаях можно считать, что мы сталкиваемся с ситуацией многократного выбора.

Формулировка однокритериальной задачи в условиях стохастической неопределенности при многократности выбора выглядит следующим образом: максимизировать (или минимизировать) математическое ожидание значений функционала F, отражающий критерий принятия решений, на множестве допустимых альтернатив D при заданном на множестве возможных состояний S вероятностном распределении Р. В формульном виде эта задача может быть поставлена как

 F(X,Y)*p(Y)dY max

YS

XD

где Х - допустимая альтернатива, Y - возможное состояние, p(Y)- плотность распределения вероятностей, соответствующая вероятностному распределению Р. Найденная в результате решения этой задачи альтернатива и будет оптимальной при многократном решении.

При однократном решении для каждого значения Х из D находится состояние, имеющее наибольшую вероятность возникновения при выборе Х (т.е. определяется мода распределения), которую мы будем обозначать Ym(X). Таким образом, задача формулируется как: максимизировать (или минимизировать) значений функционала F, отражающий критерий принятия решений, на множестве допустимых альтернатив D при заданной на множестве возможных состояний S моде. В формульном виде эта задача может быть поставлена как

F(X,Ym(X)) max

XD

Таким образом, при однократном выборе задача принятия решений в условиях стохастической неопределенности сводится к задаче принятия решений в условиях определенности.

При многократном выборе с ординальными функциями выбора (т.е. функциями, имеющими ранговую шкалу), а также в ряде случаев однократного выбора рекомендуется использовать так называемый медианный принцип. В соответствии с этим методом для каждого альтернативы Х состояния из множества S упорядочиваются по своей предпочтительности. Это упорядочение мы будем обозначать как S(Х,F). Медианой М(Х) на множестве S(Х,F) называется такое состояние, для которого вероятность выбора состояний более предпочтительных, с точки зрения альтернативы Х, и менее предпочтительных имеют одинаковую вероятность, т.е. для непрерывных распределений

 p(Y)dY =  p(Y)dY

Y{z: F(X,z)<F(X,M(X))} Y{z: F(X,z)=>F(X,M(X))}

В качестве наилучшей рассматривается альтернатива, имеющая максимальную медианную альтернативу, т.е. решается задача

F(X,М(X)) max

XD

Задачи принятия решений в условиях стохастической неопределенности широко применяются при управлении запасами организации. В простейшем виде подобная задача может быть сформулирована следующим образом: Торговой организации необходимо сделать комплексные закупки на определенный период (например, на неделю) различных товаров, так как при комплексных закупках действуют значительные скидки. Известны распределения спроса потребителей на различные товары. Как дефицит товара, так и излишнее его хранение на складе ведут к дополнительным издержкам. Так хранение избыточного объема товара предполагает расход электроэнергии, других материальных ресурсов, а возможно и дополнительных работников. При дефиците товара возникает упущенная выгода, требуются дополнительные транспортные расходы, уменьшается или исчезает скидка. Требуется максимизировать прибыль организации за период (неделю). В случае если эта задача решается в средней полосе России, то мы имеем обычно дело с принятием решений при многократном выборе. Если речь идет о “северном завозе”, то период планирования увеличивается до нескольких месяцев, и мы имеем дело с принятием решений при однократном выборе.