Билет 18

1) Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.

В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

	f(x) > g(x),
	g(x) > 0.

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

	f(x) < g(x),
	f(x) > 0.

Утверждение 3. Неравенство log_h(x) f(x) > log_h(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

		h(x) > 1,
		f(x) > g(x) > 0,
		0 < h(x) < 1,
		0 < f(x) < g(x).

Подчеркнем, что в неравенстве log_a f(x) > log_a g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.

2) Теорема. Объём прямой призмы равен произведению площади основания на высоту

Док-во: теорема для треугольной прямой призмы

Рассмотрим прямую треугольную призму АВСА₁В₁С₁ с объёмом V и высотой h. Проведём такую высоту треугольника АВС (отрезок BD), которая разделяет этот треугольник на два треугольника. Плоскость BB₁DD₁ разделяет данную призму на две призмы, основаниями которых являются прямоугольные треугольники АВD и BDC. Поэтому объёмы V₁ и V₂ этих призм соответственно равны S_ABD*h и S_BCD*h. По свойству 2 объёмов V=V₁+V₂, т.е. V=S_ABD*h+S_BCD*h=(S_ABD+S_BCD)*h. Таким образом, V=S_ABC*h.

Док-во: теорему для произвольной прямой призмы с высотой h и площадью основания S. Такую призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Например, на рис., изображена пятиугольная призма, которая разбита на три прямоугольные призмы, Выразим объём каждой призмы по формуле V=S_ABC*h и сложим эти объёмы. Внося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т.е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом объём исходной призмы равен произведению S*h.

Билет 19

1) Производная функции y = ln x существует и выражается формулой (15). В случае сложной логарифмической функции y = ln u, где u – дифференцируемая функция аргумента x, формула (15) примет вид   (16). Пользуясь формулой (16), найдём производную логарифмической функции с произвольным положительным основанием a. Пусть

На основании свойств логарифмов имеем Так как - постоянный множитель, то

или .

2) Теорема. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Док-во: Впишем в данный цилиндр P радиуса r и высоту h правильную n-угольную призму F_n, а в эту призмы впишем цилиндр P_n. Обозначим через V и V_n объёмы цилиндров P и P_n, через r_n радиус цилиндра P_n. Так как объём призмы F_n равен S_n*h, где S_n – площадь основания призмы, а цилиндр P содержит призмы F_n, которая в свою очередь содержит цилиндр P_n, то V_n<S_n*h<V.

Будет неограниченно увеличивать число _n. При этом радиус r_n цилиндра P_n стремится к радиусу r цилиндра P (r_n=cos180/n стремится к r при n ~). Поэтому объём цилиндра P_n стремится к объёму цилиндра P: lim n стремится к ~ V_n=V. Из неравенств V_n<S_n*h<V следует, что lim n стремится к ~ S_n*h=V. Но lim n стремится к ~ S_n=Пr². Таким образом V=Пr²*h.

Обозначив площадь Пr² основания цилиндра буквой S, из формулы V=Пr²*h получим V=S*h.