7) Теорема сложения вероятностей

А) Для несовместных событий(не могут выполняться вместе)

P(A+B)=P(A)+P(B)

Док-во: A+B выполнено хотя бы одного А или В

-количество элементов исходов, благоприятных для А, -для В

= +

P(A+B)= /N=( + )/N= /N+ /N=P(A)+P(B)

Б) в общем случае:

P(A+B)=( + )/N)= /N+ =P(A)+P(B)-P(AB)

8) Зависимые и независимые события

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Теорема: А и В независимы (мб. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В))

P(AB)=P(A)P(B)

Док-во: - количество равновероятных исходов для А; -количество исходов благоприятных для А, -количество равновероятных элементарных исходов для В;N- количество равновероятных элементарных исходов при совместном рассмотрении событий А и В

N=

Любому исходу соответствует из

- любому исходу , при котором выполнено А соответствует исходов (или i-тое – хз), при котором выполнено В

P(AB)= /N= / = * =P(A)P(B)

9)Теорема умножения вероятностей:

Теорема1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)Р(B/A)=P(B)P(A/B)

Где P(B/A) –вероятность события В при условии, что произошло событие А

Теорема2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Доказательство:

Т.к. события независимые, то верно равенство РА(В)=Р(В), тогда получим Р(АВ)=Р(А)Р(В)

10) Условной вероятностью P(A/B) события A при условии, что событие B произошло (P(B) не= 0)назовем отношение P(AB)/P(B)

Это определение эквивалентно так называемой теореме умножения, согласно которой P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B) , т.е. вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило.

Теорема: Вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из событий Н1, Н2, …,Нп, образующих полную группу попарно независимых событий, равна сумме произведений вероятностей событий Н1, Н2, …,Нп на соответствующую условную вероятность события А, т.е.

Полученная формула называется формулой полной вероятности.

Формула Байеса.

При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А, вероятность которого нужно было определить, могло произойти с одним из событий Н1, Н2,…,Нп, образующих полную группу, при этом вероятности гипотез были известны. Предположим , что проведен опыт и событие А наступило. Установим, как изменятся после этого вероятности гипотез, т.е. найдем условную вероятность РА(Нi) для каждой гипотезы.

По теореме умножения имеем

Р(АНi)=P(A)PA(Hi)=P(Hi)PHi(A), отсюда

Полученная формула называется формулой Байеса или формулой гипотез. Эта формула позволяет "пересмотреть" вероятности гипотез после того, как становится известным результат опыта, в результате которого появилось событие А.