Потенциальная энергия деформации

Как было показано, при растяжении и сжатии удельная потенци­альная энергия деформации . Используя принцип независи­мости действия сил, полученный результат можно обобщить на слу­чай объемного напряженного состояния. Для главных напряжений σ1, σ2, σ3

Это выражение можно преобразовать с помощью формул обоб­щенного закона Гука к виду:

В случае произвольно ориентированных площадок, с учетом каса­тельных напряжений:

Известно, что , где - величина потенциальной энергии, связанная с изменением формы, - потенциальная энер­гия деформации, обусловленная изменением объема тела.

6.Теория прочности Общая запись условия прочности при сложном напряженном состоянии имеет вид:

σ_пр ≤ [R], или σ_пр ≤ [σ]

где σ_пр — расчетное или приведенное напряжение при сложном напряженном состоянии.

Формулы приведенных напряжений устанавливаются теориями прочности в зависимости от принимаемых гипотез.

Первая теория прочности — теория наибольших нормальных напряжений.

Теория наибольших нормальных напряжений — основана на гипотезе о том, что опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение достигает значения, соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

σ_пр^I ≤ σ₁ или σ_пр^I ≤ | σ₃ |

при плоском напряженном состоянии:

Iпр=2 x+ y+21 ( x– y)2+4 2xy 

Первая теория прочности подтверждается опытами только при растяжении хрупких материалов и лишь в тех случаях, когда все три главные напряжения не однозначны и различны по величине.

Вторая теория прочности

Вторая теория прочности — теория наибольших относительных удлинений исходит из гипотезы о том, что разрушение связано с величиной наибольших относительных удлинений. Следовательно, опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшая по модулю относительная линейная деформация достигает значения, соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии.

В этом случае приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

IIпр= 1– ( 2+ 3)

при плоском напряженном состоянии:

IIпр=21– ( x+ y)+21+ ( x– y)2+4 2xy 

Вторая теория, как и первая, недостаточно подтверждается опытами, что объясняется не учетом особенностей строения реальных тел. Первая и вторая теории прочности отображают хрупкое разрушение путем отрыва (в первой это связывается с σ_макс, втотой — с ε_макс). Поэтому эти теории рассматриваются только как грубое приближение к действительной картине разрушения.

Третья теория прочности

Третья теория прочности — теория наибольших касательных напряжении. В основу теории положена гипотеза о том, что два напряженных состояния — сложное и линейное — эквиваленты в смысле прочности, если наибольшие касательные напряжения одинаковы. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

IIIпр= 1– 3)

При плоском напряженном состоянии

IIIпр= ( x– y)2+4 2xy 

Третья теория прочности отображает наступление текучести в материале, а также разрушение путем сдвигов. Она хорошо подтверждается опытами с пластическими материалами, одинаково сопротивляющимися растяжению и сжатию при условии, что главные напряжения имеют разные знаки.

Четвертая теория прочности — энергетическая.

Энергетическая теория прочности (теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения) исходит из предпосылки о том, что количество потенциальной энергии формоизменения, накопленной к моменту наступления опасного состояния (текучести материала), одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом растяжении. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

прIV=1 2 ( 1– 2)2+( 2– 3)2+( 3– 1)2 

или в частном случае при σ_y = 0, полагая σ_x = σ, τ_xy = τ

прIV= 2+3 2 

Для частного случая чистого сдвига (σ= 0):

прIV= 3 

Четвертая теория прочности отображает наступление текучести. Она хорошо подтверждается опытами с пластическими материалами, имеющими одинаковый предел текучести при растяжении и сжатии.

Четвертую теорию прочности часто называют теорией октаэдрических касательных напряжений (октаэдрические касательные напряжения в общем случае определяются по формуле  окт=1 3 ( 1– 2)2+( 2– 3)2+( 3– 1)2  и к началу развития пластических деформаций при простом растяжении они равны  окт=3 2 т ).

Единая теория прочности (Я. Б. Фридмана) — теория, основанная на представлении о независимости диаграммы деформации и сопротивления разрушению от вида напряженного состояния. Она базируется на сопоставлении истинных (а не условных, как другие теории) напряжений. В отличие от всех других теорий ею устанавливаются 2 критерия для наступления разрушения: приведенные напряжения для случая хрупкого разрушения и максимальные касательные напряжения для случая пластического разрушения.

Основными положениями этой теории являются следующие: 1) каждый материал может разрушаться хрупко (путем отрыва) от нормальных напряжений или пластически (путем среза) от касательных напряжений, в зависимости от характера напряженного состояния; 2) связь между напряжением и деформацией в координатной системе касательные напряжения — сдвиги выражается единой (обобщенной) кривой, не зависящей от вида напряженного состояния; конечная точка этой кривой для пластичных материалов представляет сопротивление срезу, являющееся, наряду с сопротивлением отрыву, константой прочности.

Свойства материалов, согласно единой теории прочности, характеризуются пределом текучести сопротивлением срезу к, сопротивлением отрыву и обобщенной кривой деформации.

Графическим выражением единой теории прочности является диаграмма механического состояния.

7) Изгиб

Плоским изгибом называется такой вид деформации стержня, при котором все внешние нагрузки, включая опорные реакции, лежат в одной из главных плоскостей стержня (yOz или xOz на рис. 6.1) и вызывают искривление оси стержня в этой плоскости. Изгибаемый стержень называется балкой.

В поперечном сечении балки могут возникать два внутренних усилия – изгибающий момент   (или  ) и поперечная сила   (или  ). Если поперечная сила отсутствует, то изгиб называется чистым, а при наличии поперечной силы изгиб называется поперечным. В дальнейшем будем рассматривать балки с поперечными сечениями, симметричными относительно оси y, и нагруженными силами в плоскости yOz.

При изгибе продольная ось балки искривляется, поперечные сечения, оставаясь плоскими,

поворачиваются, продольные волокна либо растягиваются, либо сжимаются

Для внутренних усилий приняты следующие правила знаков. 

Изгибающий момент считается положительным, если растянуты нижние и сжаты верхние волокна. Поперечная сила считается положительной, если стремится повернуть выделенную часть балки по ходу часовой стрелки (рис. 6.3). Между изгибающим моментом  , поперечной силой   и интенсивностью распределенной нагрузки   существуют дифференциальные зависимости   ;   ;   .

График, показывающий изменение изгибающего момента вдоль оси балки, называется эпюрой изгибающих моментов (Эп.М_х). График, показывающий изменение поперечной силы вдоль оси балки, называется эпюрой поперечных сил (Эп.Q_y). Для построения эпюр находят опорные реакции балки, потом балку разделяют на участки, на каждом из которых получают методом сечений уравнения   и  , а затем строят графики полученных функций. Ординаты эпюры   откладывают со стороны растянутых волокон балки (положительные – вниз от оси, отрицательные – вверх от оси). Положительные ординаты эпюры   откладывают вверх от оси, отрицательные – вниз от оси графика.

Нормальные напряжения при чистом изгибе

Гипотезу плоских сечений: поперечные сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

Гипотезу линейного напря женного состояния: продольные волокна стержня растягиваются или сжимаются и не давят друг на друга, выполняется закон Гука  .

Нормальные напряжения по высоте поперечного сечения балки изменяются по линейному закону, а по ширине сечения остаются постоянными. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной линией (осью), она всегда проходит через центр тяжести поперечного сечения. Нормальные напряжения в произвольной точке вычисляют по формуле

 

 

где   – изгибающий момент;   – момент инерции площади поперечного сечения относительно нейтральной оси;   – расстояние от нейтральной оси до той точки, в которой вычисляют напряжение. Знак напряжений («плюс» при растяжении, «минус» при сжатии) указывают по физическому смыслу в зависимости от знака изгибающего момента

Касательные напряжения

Касательные напряжения в поперечных сечениях балки появляются при нагружении балки сосредоточенными и распределенными силами. Величина их определяется формулой Журавского:

            - формула Журавского

Qy – поперечная сила – const для любой точки поперечного сечения;

Jx – момент инерции сечения – постоянная величина для всего сечения относительно оси Х;

b– ширина сечения в рассматриваемой точке, b`const;

Sx* - статический момент отсеченной части сечения площадью F*:

ДифУрванение балки

Дифференциальное уравнение упругой линии балки и его интегрирование.