18. Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка и их решение. Пример.

Дифференциальное уравнение называется однородным, если его правую часть можно представить как функцию отношения .

При решении однородных дифференциальных уравнения водят новую переменную u= .

y=u*x , y’=u’x+x’u , y’=u’x+u

Пример:

, u= , y’=u’x+u , u’x+u- =u , u’x- =0 , u’x=

u’= , , , - , -

19. Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка и их решение. Пример.

В общем виде линейное дифф. уравнение может быть представлено y’+P(x)y=Q(x)

Решают линейные уравнения заменой

y=u*v

y’=u’v=v’u

u’v=v’u+P(x)*u*v=Q(x)

u’v+(v’u+u*v*P(x))=Q(x)

u*(v’+v*P(x))=0

v’+v*P(x)=0

u’v=Q(x)

Решаем его: найдем функцию u. Находим y как u*v.

Пример:

y=u*v , y’=u’v+v’u

u’v+(v’u-

u(v’- , => v’-

;

ln v =3ln x , v=x³

u’v=x , u’x³=x

u’= ; ;

u=

y=u*v=

2 0.Понятие числового ряда. Сумма ряда, его сходимость. Свойства сходящихся рядов.

Числовой ряд-это бесконечная последовательность чисел u₁ u₂ u₃…u_n, соединенных знаком «+»

Здесь u₁, u₂…u_n- члены ряда. u_n называют n-ый или общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член u_n, т.е.задана функция натурального аргумента.

Суммы конечного числа членов ряда будет

S₁=u₁

S₂=u₁+u₂

S₃=u₁+u₂+u₃

Cумма n первых членов называется n-ой частичной суммой, обозначается Sn.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частных сумм. , где S-сумма ряда.

Тогда можно записать

Если конечного предела последователь n-ых частных сумм не существует, то ряд расходится, называется расходящимся.

Свойства сходящихся рядов:

1.Если ряд u₁+u₂+…+u_n сходится имеет сумма S_n, то ряд Л*u₁+Л*u₂+..Л*u_n, то тоже будет сходится и его сумма будет равно Л*S_n

2. Если ряды u₁+u₂+…+u_n u v₁+v₂+…v_n сходятся и имеют суммы S₁ и S₂ , то ряд (u₁+v₁)+(u₂+v₂)+…(u_n+v_n) тоже будет сходится и его сумма будет равна S₁+S₂

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный путем отбрасывания или приписывания к нему конечного числа членов.

21. Ряд геометрической прогрессии и его сходимость. Пример.

Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, называется геометрическим рядом.

Чтобы определить сходимость геометрического ряда, необходимо установить, при каких значениях знаменателя прогрессии q ряд сходится и при каких – расходится.

Нам известно, что сумма n членов геометрической прогрессии, т е n-я частичная сумма ряда при равна .

Возможно несколько случаев:

1. если то

, т е ряд сходится и его сумма ;

2. если то , => и ряд расходится.

3. если q=1, то ряд примет вид a+a+…+a…, его n-я частичная сумма S_n=a+a+a…+a=na и , т е ряд расходится.

4. если q=-1, то ряд примет вид a-a+a-a+…+(-1)^n-1a+… и S_n=0 при n четном и S_n=a – при n нечетном, => не существует, и ряд расходится.

Таким образом, геометрический ряд сходится к сумме при и расходится при

22.Гармонический ряд и его расходимость.

Гармоническим рядом называют сумму бесконечного количества членов обратных последовательным числам натурального ряда. Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. n-ной частичной суммой S_n гармонического ряда называется n-ное гармоническое число:

Альтернативное доказательство расходимости:

Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме S:

Тогда, перегруппируя дроби, получим:

Вынесем из второй скобки :

Заменим вторую скобку на S:

Перенесём в левую часть:

Подставим обратно вместо S сумму ряда:

Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.

не равно 0, т.к. каждая из скобок положительная.

Это означает, что S - есть бесконечность и наши операции по добавлению или вычитанию ее из обоих сторон равенства недопустимы.