48 Криволинейный интеграл второго рода
Свойства
1. Линейность:
2. Аддитивность:
3.
Монотонность: если
на
,
то
4. Оценка модуля:
5.
Теорема
о среднем:
если
непрерывна
на
,
то
,
такая что:
6.
Вычисление
Пусть — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция определена и интегрируема вдоль кривой в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда
,
,
.
Если
обозначить за
единичный
вектор касательной к кривой
,
то нетрудно показать, что
Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан векторным полем.
Градиент
— важнейшая и простейшая операция, позволяющая получить векторное поле из скалярного поля. Полученное применением такой операции к скалярному полю f векторное поле называется градиентом f:
или, записывая с помощью наблы:
52 Формула Грина
Теорема Грина
устанавливает связь между криволинейным
интегралом по замкнутому контуру
и
двойным
интегралом по односвязной
области
,
ограниченной этим контуром.
Пусть
—
положительно ориентированная
кусочно-гладкая замкнутая кривая на
плоскости, а
—
область, ограниченная кривой
.
Если функции
,
определены
в области
и
имеют непрерывные частные
производные
,
,
то
На символе интеграла часто рисуют окружность, чтобы подчеркнуть, что кривая замкнута.