Предел и непрерывность функций нескольких переменных

Пусть функция Z=f(M) определена на некотором множестве {M} и точка M₀ {M} или M₀ {M}, но обладает тем свойством, что в любой δ-окрестности этой точки содержится хотя бы одна точка множества {M}, отличная от M₀.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число А называется пределом функции Z=f(M) в точке M₀, если функция Z=f(M) определена в окрестности точки M₀ и для любого ε>0, δ>0 такое что при |M₀M|<δ, выполняется неравенство |f(M)-A|<ε.

обозначение: 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Функция Z=f(M) называется непрерывной в точке M₀, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т.е.

53

Частные производные.

Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение  . Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается   и определяется формулой  .

Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение  , то z получает частное приращение z по y, .

Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения  по x к приращению  при стремлении   к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов .

Аналогично определяется частная производная по y:

                                  .

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

54

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Полным дифференциалом функции двух переменных называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений независимых переменных.

Теорема. Полный дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме произведений частных производных функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных.

dZ=f'_x(x,y)dx+f'_y(x,y)dy или 

Так как  dx=d_xZ и  dy=d_yZ, то dZ=d_xZ+d_yZ, т.е. дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме ее частных дифференциалов.

Определение дифференциала переносится на функции любого числа независимых переменных.

 Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

  Если подставить в эту формулу выражение

то получим приближенную формулу:

 55

Очень часто при решении практических задач (например, в высшей геодезии или аналитической фотограмметрии) появляются сложные функции нескольких переменных, т. е. аргументы x, y, z одной функции f (x,y,z)) сами являются функциями от новых переменных U, V, W).

Так, например, бывает при переходе от неподвижной системы координат Oxyz в подвижную систему O₀UVW и обратно. При этом важно знать все частные производные по "неподвижным" - "старым" и "подвижным" - "новым" переменным, так как эти частные производные обычно характеризуют положение объекта в этих системах координат, и, в частности, влияют на соответствие аэрофотоснимков реальному объекту. В таких случаях применяются следующие формулы:

То есть задана сложная функцияT трех "новых" переменных U, V, W посредством трёх "старых" переменных x, y, z, тогда:

Замечание. Возможны вариации в количестве переменных. Например: если

то

В частности, еслиz = f(xy), y = y(x) , то получаем так называемую формулу "полной производной":

Эта же формула "полной производной" в случае:

примет вид:

Возможны и иные вариации формул (1.27) - (1.32).

56

 Дифференцирование неявной функции

Функция z = ƒ (х; у) называется неявной, если она задается уравнением

неразрешенным относительно z. Найдем частные производные   неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию ƒ (х; у), получим тождество F(x;у;ƒ (х; у)) = 0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

откуда

57

Частные производные  функции

 в общем случае являются функциями от х и у. Если они дифференцируемы, то четыре частные производные, называемые частными производными второго порядка:

Аналогично вводятся частные производные третьего, ..., го порядка.

О: Частной производной n-го порядка называется частная производная первого порядка от частной производной го порядка.

 Дифференциалом второго порядка функции z = (х, у) называется дифференциал от ее дифференциала первого порядка, рассматриваемого как функция переменных х и у при фиксированных значениях dx и dу.

Аналогично определяются дифференциалы третьего, ..., го порядка [11. С. 410]:

Выражение в скобках формально раскрывается по биномиальному закону. Например,

58

 Касательной плоскостью к поверхности, заданной уравнением F(x, у, z) = 0, в т. М(х, у, z) называется плоскость, в которой расположены касательные ко всем линиям, лежащим на поверхности и проходящим через т. М.

Т: Если в т. М поверхности с уравнением F(x, у, z) = 0 существуют непрерывные частные производные

причем то в т. M существует касательная плоскость

Пусть линия L, определяемая параметрическими уравнениями x = x(t), у = y{t), z = z(t): и т. Запишем уравнение L в векторной форме:  Тогда вектор направлен по касательной к линии L в т. М(рис. 12.6).

Рис. 12.6

Для сложной функции F(x(t), y(t), z(i)) в силу того, что L лежит на поверхности  

Такое равенство является условием перпендикулярности векторов

Таким образом, все касательные к кривым, проходящим через т. Ми лежащим на поверхности, будут перпендикулярны вектору т.е. будут лежать в одной плоскости.

Используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, из доказательства теоремы получаем, что уравнение касательной плоскости, проходящей через т. имеет вид

Уравнения нормали, т.е. прямой, перпендикулярной к касательной плоскости в т.

59

 Рассматривается функция     определенная на множестве  .

Определение 1. Точка    называется точкой локального экстремума, если :      

Из определения следует, что приращение функции   не меняет знак в окрестности точки экстремума: если   в т.х^о максимум, если   минимум.

Теорема 1 (Необходимое условие локального экстремума). Пусть функция  u = F(x)  имеет в т. х^о  локальный экстремум. Если у нее в этой точке существуют частные производные, то они равны нулю.

  {  Зафиксируем все переменные кроме  х₁  в т. х^о :   Тогда  

   По Т. Ферма   Для остальных переменных – аналогично }

Определение 2. Точка, в которой все частные производные равны нулю, называется стационарной.

Замечание 1. Функция, дифференцируемая в стационарной точке, имеет в ней дифференциал равный нулю:  . Верно и обратное утверждение:

из равенства нулю дифференциала в некоторой точке следует стационарность этой точки.

Для доказательства достаточно взять все приращения аргументов кроме одного равными нулю. Тогда из формулы для дифференциала сразу следует равенство нулю соответствующей частной производной.

Замечание 2. Условия  Т.1 не являются достаточными: u = xy , т. О(0,0).

Теорема 2 (Достаточное условие локального экстремума). Пусть функция  u(x) дважды дифференцируема в стационарной точке. Если 2 – ой дифференциал в этой точке есть знакопостоянная квадратичная форма от дифференциалов независимых переменных, то функция в ней имеет экстремум: максимум, если     и  минимум, если 

{Приращение функции в т. х^о по формуле Тейлора (§8) равно:

 В достаточно малой окрестности знак приращения совпадает со знаком  второго дифференциала функции  u. В свою очередь, знакопостоянство квадратичной формы определяется его матрицей, т.е. матрицей Гессе (§4) и не меняется внутри окрестности стационарной точки в силу теоремы об устойчивости знака , что и доказывает теорему}

60

Функция   имеет максимум (минимум) в точке  , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке   некоторой окрестности точки  , то есть   (соответственно  ) для всех точек  , принадлежащих этой окрестности. Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка  , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция   достигает экстремума в точке  , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть:  ,  .

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки, в которых производные не существуют и которые лежат внутри области определения функции, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточное условие существования экстремума:

Пусть   стационарная точка функции  . Обозначим  ,  ,   и составим дискриминант  . Тогда:

если  , то функция имеет в точке   экстремум, а именно максимум, при   (или  ) и минимум, при   (или  );

если  , то в точке   экстремума нет;

если  , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

61

Пусть функция

u = f(x₁, x₂,  … , x_n)

(1)

определена в некоторой области D  Rⁿ и ее аргументы не являются независимыми переменными, а связаны k   (k<n) соотношениями:

F_i(x₁, x₂,  … , x_n) = 0  (i = 1,2, … ,k).

(2)

Условия (2) называются уравнениями связи.

Пусть координаты точки M₀(x₁⁰, … ,x_n⁰)  D удовлетворяют уравнениям связи (2).

Точка M₀(x₁⁰, … ,x_n⁰) называется точкой условного максимума (минимума) функции (1) при условиях связи (2), если существует такая окрестность O_δ(M₀) точки M₀ , что для любой точки M(x₁, … ,x_n)  O_δ(M₀) , координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (2), выполняется неравенство   f(M) ≤ f(M₀)   (f(M) ≥f(M₀)) .

62

Дифференциальное уравнение

                                                      (3.1)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Умножая обе части уравнения на      ,  получаем уравнение

                                                                                                      (3.2)

В уравнении  (3.2)  коэффициент при dx  зависит только от x, а коэффициент при dy зависит только от y.Значит, в уравнении  (3.2)  переменные разделены.  Интегрируя, получаем:

                                                   +  

63

Уравнение

F(x, y, y ') = 0,

где y = y(x) — неизвестная, непрерывно дифференцируема на (a,b) функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

 

Функция y = y(x) называется решением дифференциального уравнения F(x, y, y ') = 0, если она непрерывно дифференцируема на (a,b) и F(x, y(x), y '(x)) ≡ 0 для всех x из (a,b) .

 

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

 

Дифференциальное уравнение 1–го порядка имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия.

64

Уравнением, приводящимся к однородному, называется дифференциальное уравнение вида  

Заменой u = y − y₀, v = x − x₀ это уравнение приводится к однородному уравнению

Здесь x₀ и y₀ — единственное решение линейной системы

  

65

Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида

F (x, y(x), y '(x), y ''(x),  …  , y⁽ⁿ⁾(x)) = 0,

где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.

 

Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема на (a, b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной, называют уравнениями внормальной форме:

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y ',  y '',  …  , y^{(n − 1)}).

Дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить нужное решение, используют дополнительные условия.

 

Чтобы выделить единственное решение уравнения n–го порядка обычно задают n начальных условий y(x₀) = y₀,  y '(x₀) = y₁,  y ''(x₀) =y₂,  …  , y^{(n − 1)}(x₀) = y_{n − 1}.

 

Задачей Коши (или начальной задачей) называется задача отыскания решения y = y(x) уравнения

F(x, y(x), y '(x), y ''(x),  …  , y^(n )(x)) = 0,    x>x₀,

удовлетворяющего условиям

y(x₀) = y₀,  y '(x₀) = y₁,  y ''(x₀) = y₂,  …  , y^{(n − 1)}(x₀) = y_{n − 1}.

 

Условия   y(x₀) = y₀,  y '(x₀) = y₁,  y ''(x₀) = y₂,  …  , y^{(n − 1)}(x₀) = y_{n − 1} называются начальными данными, начальными условиями или данными Коши.

 

Любое конкретное решение y = φ(x) уравнения n –го порядка F(x, y(x), y '(x), y ''(x),  …  , y^(n )(x)) = 0, называется частным решением.

 

Общим решением дифференциального уравнения

F(x, y(x), y '(x), y ''(x),  …  , y^(n )(x)) = 0

называется функция

y = Ф(x,  С₁, С₂, … , С_n),

содержащая некоторые постоянные (параметры) С₁, С₂, … , С_n, и обладающая следующими свойствами:

1. Ф(x, С₁, С₂,  … , С_n) является решением уравнения при любых допустимых значениях С₁, С₂, … , С_m;

2. для любых начальных данных  y(x₀) = y₀,  y '(x₀) = y₁,  y ''(x₀) = y₂,  …  , y^{(n − 1)}(x₀) = y_{n − 1}, для которых задача Коши имеет единственное решение,

существуют значения постоянных С₁ = A₁, С₂ = A₂,  … , С_n = A_n, такие что решение y = Ф(x, A₁, A₂,  …, A_n) удовлетворяет заданным начальным условиям.

Иногда частное или общее решение уравнения удается найти только в неявной форме: f(x, y) = 0 или G(x, y, С₁,  С₂,  ..., С_n) = 0.

Такие неявно заданные решения называются частным интегралом или общим интегралом уравнения.

66