18. Функции многих переменных. Предел функции в точке, предел по множеству, по направлению.

Определение: пусть множество M ⊂ , если x M число R, то говоря, что на множестве M задана функция y=f(x) (или y=f( , ).

Замечание: если n=2, x=( , ), то говорят о функции двух переменных и будем менять обозначение: =x, =y, f(x, y). Вместо точки x=( , ) будет M(x, y), если n=3 и x=( , ) M(x, y, z).

Определение (опред. По Коши): Пусть f(x) опр. в некоторой, быть может проколотой окружности точка a (U (a) или (a)). Говорят, что f(x) имеет предел A, при x a (или f(x)сходится в A при x a), если для 0 = ( ) 0, что (a)⇒ | A |< . (U (a)= 0<ς(x;a)< ), а раньше было: ς(x;a)= |x-a |, n=1. Аналогично одномерному случаю вводится определение предела по Гейне и доказывается эквивалентность предела по Коши и по Гейне.

Опред.: число A называют f(x) если 0, = ( ) 0, что для |x |> ⇒| x)- A |< ,

|x |= –длина вектора x.

Утверждение: все теоремы о пределах, связанные с арифметическими операциями над функциями переносятся на случай функции n-переменной.

1.Н-р: если f(x)= A, g(x)=B, то ( f(x g(x)) и ( f(x g(x))= A B

2.Справедливы теоремы о б.м. функциях.

3.Справедливы теоремы о замене переменных при вычислении lim.

Предел функции по множеству M

Определение: пусть точка -предельная точка множества M ⊂ , будем говорить, что число Aесть f(x) по множеству M. Если для любого 0, = ( ) 0, ( ) M ⇒| x)- A |< .

Пишут = A.

Замечание: если пределы по разным прямым y= одинаковы, то это не означает, что общий предел не существует.

19. Непрерывность функции многих переменных в точке. Свойства непрерывных функций. Непрерывность функции на множестве, свойства функций, непрерывных на компакте.

Определение: f(x) называется непрерывной в точке a (a , если:

1. f(x) определена в некоторой окрестности точки a.

2. f(x = A. → определение непрерывности по Коши

3. A= f(a)

Аналогично одномерному случаю определяется непрерывность по Гейне. Сохраняется определение непрерывности функции на языке приращения f= 0.

Определение: f(x) называется непрерывной в точке a, по множеству M (точка a- предельная точка множества M, если f(x) = f(a).

Сохраняются теоремы о непрерывных функциях:

1)непрерывность суммы, произведения и частного в соответствующих условиях.

2)непрерывность сложных функций.

Теорема: : , определены в некоторых окрестностях точки , - точка, =( … ) , а и непрерывна в точке

Пусть f(y)= ( … ) определена в некоторой окрестности точки ( … ) …. и непрерывна в точке Тогда сложная функция Ф(x)=f( определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке.

Свойства функций непрерывных на компакте

Определение: говорят, что функция непрерывна на множестве M ⊂ , если она непрерывна в любой предельной точке M по этому множеству, т.е. - пред. точки M ⇒ f(x)= .

Теорема 1: Если функция непрерывна на компакте, то она ограничена на нем. ( Теорема 1 Вейерштрасса для

Теорема 2: Если функция непрерывна на компакте, то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения. (Вейерштрасс).

Теорема 3: Пусть f(x) непрерывна в области Д лежащей в и принимает в этой области значения A и B. Тогда f(x) принимает в некоторых точках области Д все значения между A и B.