3. Общая схема метода ветвей и границ. Задача целочисленного программирования.
Метод ветвей и границ явл. одним из самых популярных методов перебора, кот. позволяет сокращать объём перебираемых планов за счёт исключения бесперспективных подмн-в планов, т.е. таких, кот. заведомо не содержат реш-я.
Метод применяют к зад.: ,(1) .
Общая схема. В методе на каждой итерации строится список из перспективных подмн-тв, одно из кот., по крайне мере содержит оптимал. план. На нулевой итерации . Вычисляем оценку итерации , рекорд итерации .
Вычисляем разность . Возможны случаи:
1. . В этом случае рекордный план будет оптимальным планом задачи, так как на нём достигалась нижняя граница.
2. , где -малое положит. число, заданная точность вычисления. В этом случае рекордный план можно взять в качестве - оптимального, т.е. приближённого реш-я задачи (1).
3. . Тогда заданная точность не достигнута. Переходим к первой итерации. Для этого в соответствие с первым предположением ветвим на более мелкие. Для каждого вычисл. границу по второму предположению, и бесперспективные подмн-ва отбрасываем,а перспективные включаем в список для 1-вой итерации.
Задача целочисленного
лин. программирования. Рассм.
зад. в канонич. форме с дополнительным
условием: переменные должны быть целыми
числами
.Как
правило, производственная задача, в
кот. продукция неделимая, явл. целочисленной.
Однако при решении непрерывной задачи
оптимальный план часто имеет дробные
компоненты. Его округление до целых не
всегда подходит. Метод ветвей и границ
впервые был применён к целочисленной
линейной задаче.
4. Метод сплайнов 1 порядка.
Рассм. задачу
,
(1) где
– некоторые числа
(
).
Опр.Сплайном
некоторой ф-ции
на
наз. некоторую непрерывную ф-цию,
состоящую из кусков ф-ций заданного
класса и аппроксимирующую исходную
функцию снизу.
Если в кач-ве кусков
выбир. лин. ф-ция, то сплайн представл.
из себя некоторую ломаную и называется
сплайном
1-го порядка.
Метод состоит в следующем: пусть дана
задача (1), задана
–
начальное приближение. Предпол., что
выполн. усл.
(2)
,
(то есть тангенс угла наклона касательной
находится на
).
Пусть одновр. с реализацией метода
задана некоторая процедура поиска.
1-ая итерация: по
строится простейший сплайн
Если выполн.
нерав-во(2),то
аппроксимирует снизу ф-цию
,(лежит
не выше неё), затем решаем задачу
и пусть
– оптимал. план этой задачи. Затем
производится анализ. Пусть
– рекордный план, тогда если
,
где
0
– малое (требуемая точность вычислений),
тогда рекордный план принимается за
-оптимальное.
В противном случае переходим ко 2-ой
итерации: строим сплайн. Сначала по
– простейший
Затем
и реш. задача
,
её решение принимается за
.
Затем совершается анализ: если
,
то рекордный план
принимается за приближённое реш-е, в
противном случае 3-я итерация и так
далее. Опишем
-ую
итерацию: пусть построена точка
и сплайн
тогда строим простейший сплайн по
;затем
.
Затем рассматривается задача
и решение принимается за
.
Анализ: если выполн. нерав-тво
,
то
служит приближённым значением зад., в
противном случае приходим к
-итерации.