41. Свойства функций, непрерывных в ограниченной и замкнутой области.

Назовём множество ограниченным, если оно целиком содержится в шаре достаточно большого радиуса, то есть если найдётся такое числоR, что

Теорема 7.6 (об ограниченности и существовании экстремумов) Если функция f непрерывна в замкнутой и ограниченной области , то:

функция f ограничена на , то есть существует такая постоянная M , что при всех ;

функция f принимает в области наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют такие точки и , что при всех выполняются неравенства и .

(В этом случае точка называется точкой минимума, а точка -- точкой максимума функции f в области .)

Свойства 1) и 2) аналогичны свойствам функции одного переменного, непрерывной на замкнутом отрезке .

Если область, в которой функция непрерывна, не является замкнутой или не является ограниченной, то утверждения теоремы могут быть и не верны, как показывают следующие примеры:

Функция непрерывна, но не ограничена в ограниченном, но незамкнутом круге . Докажите неограниченность, рассмотрев ограничение функцииf на диаметр круга, заданный условием .

Функция непрерывна на всей плоскости . Заметим, что плоскость не является ограниченным множеством. Эта функция ограничена, так как

при всех и , принимает максимальное значение 1 в точке , но не имеет минимального значения :

то есть значения могут быть как угодно близки к 0, однако в любой точке x значение и, следовательно, ни в какой точке x значение не равно 0.

Теорема 7.7 (о промежуточном значении) Пусть функция f непрерывна в связной области . Рассмотрим произвольные две точки и число C , промежуточное между значениями и :

(мы предположили, что ). Тогда в области обязательно существует такая точка , в которой , то есть функция принимает любое промежуточное значение в некоторой точке связной области .

Доказательство. Соединим точки и непрерывным путём , , целиком лежащим в ; такой путь существует по предположению о связности области . Тогда и . Рассмотрим функцию одного переменного , равную композиции функции f и вектор-функции :

Поскольку функция f и все функции , задающие координаты пути, непрерывны, то композиция также является непрерывной функцией. При этом

Применяя к непрерывной на отрезке функции теорему о промежуточном значении (для функций одного переменного, в данном случае ), получаем, что найдётся такое значение параметра t , равное , для которого . Но это равенство означает в точности, что взяв , мы получим , что и требовалось.

Если область не связна, то промежуточное значение непрерывная функция может и не принимать ни в одной точке области. Пусть, например, состоит из двух открытых полуплоскостей: левой , , и правой, (выше мы видели, что такая область не связна). Рассмотрим функцию в области ; эта функция тождественно равна в левой полуплоскости и тождественно равна 1 в правой полуплоскости. В любой точке x области функция непрерывна, поскольку постоянна в некоторой круговой окрестности этой точки; поскольку область открыта, такая круговая окрестность, целиком содержащаяся в , существует для любой точки . Однако никакое промежуточное значение C, такое что (например, ), функция нигде не принимает.