5. Восстановление аналитической функции

по заданной действительной или мнимой части

Теорема 6. Для заданной функции u(x,y), гармонической в односвязной области G, существует бесконечное множество аналитических в G функций, действительной частью которых является u(x,y). Все они выражаются формулой

и отличаются между собой на чисто мнимую постоянную .

Доказательство.

Пусть дана гармоническая функция u(x,y). Для нахождения аналитической функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y) необходимо найти мнимую часть v(x,y), которая дифференцируема в G и связана с u(x,y) условиями Коши – Римана:

, .

Так как u(x,y) известна, то известны её частные производные. Обозначим

,

Тогда условия Коши – Римана запишутся в виде:

. (9)

Т.к. u гармоническая функция, то она имеет непрерывные производные второго порядка, следовательно, существуют и непрерывны в G. Тогда уравнение Лапласа для функции u примет вид

. (10)

Т.к. непрерывны в G и удовлетворяют условию (10), то выражение P(x,y)dx+Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции v₀(x,y):

dv₀(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy

и ,

где интеграл по кривой, соединяющий точки (x₀,y₀) и (x,y) в , не зависит от пути интегрирования. Имеем . Надо найти функцию v(x,y) удовлетворяющую условиям (9). Следовательно,

.

Учитывая обозначения, получим

. (11)

Следовательно, функция f(z)= u(x,y)+iv(x,y), где v(x,y) определяется соотношением (11), является аналитической функцией (u и v-дифференцируемы и связаны условиями Коши-Римана). Итак, _.

Аналогично можно показать, что для любой функции v(x,y), гармонической на области G существует аналитическая в G функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y), мнимая часть которой равна v(x,y). Эта функция определяется с точностью до постоянного слагаемого .

Пример. Выяснить, существует ли аналитическая функция f(z), такая, что Ref(z)=u(x,y)=e^xsiny.

∆ Выясним, является ли u(x,y) гармонической:

- непрерывны на и .

С ледовательно, u – гармоническая функция на .

Найдем v(x,y) из условий Коши-Римана

, .

,

причем в качестве точки (x₀,y₀) можно взять любую точку плоскости, например (0;0). Получим

.

Тогда

, . 

6. Геометрический смысл аргумента и модуля производной

I. Геометрический смысл аргумента производной

1 ) Пусть z=λ(t) – комплексная функция действительной переменной от t, t[α,β]. Она определяет непрерывную кривую L: z=λ(t)=x(t)+iy(t), t[α,β]. Пусть существует λ(t₀), для некоторого t₀[α,β]. Покажем, что тогда в точке z₀=λ(t₀) кривой L, существует касательная T, причем угол θ между T и Ox совпадает с Arg λ(t₀). Проведем секущую Р через точки z₀=λ(t₀) и z₁=λ(t₁)L.

z₀=x₀+iy₀, где z₁=x₁+iy₁, где

Угол  между Р и Ох: . Рассмотрим вектор

Следовательно, _.

Значит, направление секущей совпадает с направлением вектора. Поэтому секущая имеет предельное положение, если угол между и Ох, равный , имеет предел при tt₀. Т.к. , то .

Итак, если z=λ(t) – комплексно-значная функция действительной переменной имеет производную в некоторой точке t₀, то она имеет касательную в точке z₀=λ(t₀). При этом угол наклона касательной к оси Ох равен аргументу производной.

2 )Пусть w=f(z)-аналитическая в некоторой области G функция, причем f(z₀)≠0, z₀ G.

Проведем через точку z₀G кривую L: z=λ(t), t[α,β], z₀=λ(t₀), для которой λ(t₀)≠0, тогда по п.1 в точке z₀ существует касательная с углом наклона Argλ(t₀). При отображении w=f(z) кривая L перейдет в кривую Λ, расположенную в плоскости uOv. Λ: w=f(λ(t))=μ(t), α≤t≤β, μ(t₀)=f(z₀)=w₀. По правилу дифференцирования сложной функции существует (t₀)=f(z₀)λ(t₀)≠0. Следовательно, и у кривой Λ в точке w₀=f(z₀) существует касательная, причем угол между касательной и осью Ох равен:

Arg(t₀)=Arg[f(z₀)λ(t₀)]=Argf(z₀)+Argλ(t₀). Отсюда

Arg μ(t₀)-Argλ(t₀)=Argf(z₀) - (*)

на эту величину изменяется угол наклона касательной при переходе от кривой L к кривой Λ.

Итак, геометрический смысл аргумента производной состоит в следующем: аргумент производной в точке z₀ равен углу поворота касательной к кривой L в точке z₀ при переходе к её образу Λ и к точке w₀=f(z₀).

Р ассмотрим теперь две кривые L₁ и L₂ проходящие через точку z₀. Обозначим через φ₁ и φ₂ углы наклона касательных к ним в точке z₀. Образами кривых L₁ и L₂ являются кривые Λ₁ и Λ₂ с углами наклона в точке w₀=f(z₀) ψ₁ и ψ₂. Из (*) следует Argf(z₀)=ψ₁-φ₁=ψ₂-φ₂, следовательно, ψ₁-ψ₂=φ₁-φ₂.

Таким образом, отображение w=f(z), где f(z) аналитическая в точке z₀ функция и f(z₀)≠0 сохраняет углы между кривыми, проходящими через точку z₀, при этом сохраняется не только величины, но и направление отсчета.

II.Геометрический смысл модуля производной

Лемма. Если существует , то существует .

Доказательство.

f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=a+ib, z₀=x₀+iy₀.

.

Пусть f(z)-аналитическая в некоторой области G и в некоторой точке z₀G f(z₀)≠0. При отображении w=f(z) точка z₀L переходит в точку w₀=f(z₀)Λ, любая точка zL переходит в точку w=f(z)Λ, ∆z=z-z₀, ∆w=f(z)-f(z₀)=w-w₀.

Т . к. существует , то по лемме . Следовательно, |∆w|=|f(z₀)||∆z|+o(|∆z|). Зафиксируем достаточно малое число ρ>0. Рассмотрим окружность |z-z₀|=ρ или |∆z|=ρ. Функция w=f(z) окружность |z-z₀|=ρ (|∆z|=ρ) отобразит на кривую |∆w|=|f(z₀)|ρ+(). Она мало отличается от окружности |∆w|=|f(z₀)|ρ, т.е. отображение w=f(z) с точностью до бесконечно малого более высокого порядка, чем ∆z, растягивает окрестность точки z₀ в раз.

называется коэффициентом растяжения кривой в точке z₀ при отображении w=f(z). Коэффициент не зависит от вида кривой и равен |f(z₀)|. При k>1 происходит растяжение, а при k<1 сжатие.

Итак, модуль производной f(z₀) геометрически можно рассматривать как растяжение окрестности точки z₀ при отображении посредством функции w=f(z).

Таким образом, если функция f(z) аналитическая в точке z₀ и f(z₀)≠0, то все кривые, проходящие через точку z₀, при отображении w=f(z) поворачиваются на один и тот же угол Arg f(z₀) и получают одно и то же растяжение с коэффициентом |f(z₀)|.