11. Свойства неопределенного интеграла.
Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.
. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: 2. Hеопpедeлeнный интеграл от диффepeнциaла некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
∫dF(x)= F(x)+C.
Действительно,
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
α
≠ 0 - постоянная.
4. Неопределенный интеграл от aлгeбpaическoй суммы конечного числа непрерывных функций равен aлгебpaичecкoй сумме интегралов от слагаемых функций:
5. (Инвариантность формулы интегрирования).
Если 
,
где u=φ(х) - произвольная функция, имеющая
непрерывную производную.▲Пусть х -
независимая переменная, ƒ(х) - непрерывная
функция и F(x) - ее пepвoобpaзнaя. Тогда
Положим теперь u=ф(х), где ф(х) - непрерывно-дифференцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию F(u)=F(φ(x)). В силу инвараинтности формы первого дифференциала функции (см. с. 160) имеем
Отсюда 
▼
Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.
12. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
б) Метод подстановки (введение новой переменной)
Так как неопределенный интеграл не зависит от выбора аргумента и, учитывая, что
dx = j/(t)dt,
получаем формулу замены переменной в неопределенном интеграле
.
(2.5)
То есть интеграл, стоящий в правой части, может оказаться проще интеграла в левой части.
Пример.
1.
.
2.
.
3.
.
13. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
в) Метод интегрирования по частям
Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции от х.
d(u×v) = udv + vdu.
Отсюда
udv=d(u×v)-vdu.
Интегрируя обе части этого уравнения, получим
или
.
(2.6)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Пример.
1.
.
2.
.
14. Методы вычисления неопределенных интегралов.
а). Метод разложения.
Пусть f(x) = f1(x) + f2(x). Тогда на основании свойства 4
.
f1, f2 стараемся подобрать так, чтобы интегралы брались непосредственно.
Пример:
1.
?
Воспользуемся
.
.
2.
=
=
.
б). Метод подстановки (введение новой переменной)
Так как неопределенный интеграл не зависит от выбора аргумента и, учитывая, что
dx = j/(t)dt,
получаем формулу замены переменной в неопределенном интеграле
. (2.5)
То есть интеграл, стоящий в правой части, может оказаться проще интеграла в левой части.
Пример.
1. .
2. .
3. .
в) Метод интегрирования по частям
Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции от х.
d(u×v) = udv + vdu.
Отсюда
udv=d(u×v)-vdu.
Интегрируя обе части этого уравнения, получим
или
. (2.6)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
Пример.
1. .
2. .
15. Понятие определенного интеграла.
16. Геометрический смысл определенного интеграла.
