Задание 7. Приложения определенного интеграла

С помощью определенного интеграла

(21)

можно найти площадь криволинейной трапеции , ограниченной сверху и снизу графиком функции и отрезком оси , а с боков - отрезками прямых и

(рис. 5).

При этом для вычисления интеграла надо воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

,

(22)

где - первообразная для функции , то есть .

Если надо вычислить площадь области, ограниченной кривыми , и ординатами , (рис. 6), то при условии будем иметь

(23)

Значения первообразных можно посмотреть в таблице интегралов.

Таблица основных интегралов и правила интегрирования:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

Правила интегрирования:

,	(24)
	(25)

Пример: вычислить площадь фигуры, ограниченной областью

Находим точки пересечения кривых и , значит , откуда . Следовательно.

Задание 8. Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение

, (26)

связывающее между собой независимую переменную х, искомую (неизвестную) функцию и ее производную называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если данное уравнение можно записать в виде , то говорят, что оно разрешимо относительно производной. Это уравнение иногда записывают в виде или в общем виде:

(27)

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция , которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество. График функции в этом случае называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется такая функция , где С – произвольная постоянная, что:

1. при любом конкретном значении С она является решением этого уравнения;

2. для любого допустимого начального условия найдется такое значение постоянной , что .

Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости .

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , получаемая из общего решения при конкретном значении .

Примеры.

Показать, что заданные функции являются решениями соответствующих дифференциальных уравнений.

а)

б) .

а) находим производную заданной функции: . Подставляем значения у и в заданное уравнение: . Получено тождество , следовательно, функция является решением уравнения .

б) Сначала находим . Подставим теперь значения у и в данное уравнение: . Получено тождество, следовательно, функция является решением уравнения .