Вопрос 7
Напряженность
и потенциал – различные характеристики
одной и той же точки поля. Следовательно,
между ними должна существовать однозначная
связь.
Работа по
перемещению единичного точечного
положительного заряда из одной точки
поля в другую вдоль оси х на
элементарное расстояние
равна
.
С другой стороны, эту работу можно
выразить через разность потенциалов
на концах отрезка
,
т.е.
.
Приравнивая оба выражения для работы,
получим
,
откуда
где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по оси х. Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z, можем найти вектор
(1.20)
где
единичные
векторы координатных осей x, y и
z (орты).
В математике
вектор, показывающий направление
наибольшего роста скалярной функции
П, называется градиентом
(обозначается
).
Таким образом, формулу (1.20) можно
представить в виде
(1.21)
т.е.
напряженность поля равна градиенту
потенциала со знаком «минус». Это
означает, что вектор напряженности
электростатического поля направлен в
сторону убывания потенциала. В случае
однородного поля (например, поля плоского
конденсатора) модуль напряженности
определяется по формуле
(1.22)
где d – расстояние,
разность
потенциалов между обкладками конденсатора.
Из формулы (1.22) следует, что напряженность
электрического поля можно выражать в
вольтах на метр (В/м).
Для графического изображения распределения
потенциала электростатического поля
пользуются эквипотенциальными
поверхностями – поверхностями, во
всех точках которых потенциал
имеет
одно и то же значение. Если поле создается
точечным зарядом (рис. 1.9), то его потенциал
равен
Таким
образом, эквипотенциальные поверхности
в данном случае – концентрические
сферы, охватывающие заряд. С другой
стороны, линии напряженности поля
точечного заряда – радиальные прямые.
Следовательно, линии напряженности в
случае точечного заряда перпендикулярны
эквипотенциальным поверхностям.
Можно
доказать, что силовые линии поля всегда
нормальны к эквипотенциальным
поверхностям. Действительно, все точки
эквипотенциальной поверхности имеют
одинаковый потенциал, поэтому работа
по перемещению заряда вдоль этой
поверхности
Это
означает, что электростатические силы,
действующие на заряд, всегда направлены
по нормали к эквипотенциальным
поверхностям, следовательно, вектор
всегда
нормален к эквипотенциальным поверхностям
и поэтому линии напряженности ортогональны
этим поверхностям.
Эквипотенциальных поверхностей вокруг
каждого заряда и системы зарядов можно
провести бесчисленное множество. Обычно
их проводят так, чтобы разности потенциалов
между любыми двумя соседними поверхностями
были одинаковы. Тогда густота
эквипотенциальных поверхностей наглядно
характеризует напряженность поля в
разных точках: там, где эти поверхности
расположены гуще, напряженность поля
больше.
Вопрос 8
Разность потенциалов между точками поля, образованного двумя бесконечными заряженными плоскостями
Мы показали, что напряженность связана с потенциалом
тогда
3.7.1
где
–
напряженность электростатического
поля между заряженными плоскостями,
найденная в п. 2.5.2 с помощью теоремы
Остроградского–Гаусса; σ = q/S–
поверхностная плотность заряда.
Теперь, чтобы получить выражение для потенциала между плоскостями, проинтегрируем выражение (3.7.1):
При
x1 = 0 и x2 = d
Рис. 3.5
На рисунке 3.5 изображена графическая зависимость напряженности E и потенциала φ от расстояния между плоскостями.