3. Проекция вектора на ось. Свойство суммы проекций и выражение проекции через длину вектора и косинус угла.

Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая.

Проекцией точки М на ось l называется основание М₁ перпендикуляра ММ₁, опущенного из точки на ось.

Точка М₁ есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).

Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М1.

Пусть АВ — произвольный вектор (АВ 0). Обозначим через А₁ и b ₁проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора АВ и рассмотрим вектор А₁В₁

Проекцией вектора АВ на ось l называет ся положительное число |A ₁B ₁ | , если вектор А ₁В ₁ и ось l одинаково направлены и отрица тельное число — |A ₁B ₁ | , если вектор А ₁В₁ и ось l противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки a ₁и b ₁совпадают (А ₁В ₁ =0), то проекция вектора АВ равна 0.

Проекция вектора АВ на ось l обозначается так: пр_lАВ. Если АВ=0 или АВl , то пр_l АВ=0.

Угол   между вектором а и осью l (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно,

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.

Проекция суммы векторов на ось l равна сумме проекций векторов на эту ось

Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки  ( ,  ,  ) и  ( ,  ,  ), являющиеся соответственно началом и концом вектора  , то его координаты X, Y, Z определяются по формулам  ,  ,  .

Формула

 

позволяет по координатам вектора определить его модуль.

4. Скалярное произведение векторов. Примеры. Линейные свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты. Примеры.

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длиныданного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно используется одно из следующих обозначений:

,

,

Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского

Нетрудно доказать (на лекции доказано), что для любых векторов  ,  и  и любого действительного числа  справедливы следующие равенства:

1. 

2. 

3. 

4.  при  , и   тогда и только тогда, когда  ,   — нулевой вектор.

Справедливо следующее неравенство (неравенство Коши-Буняковского):

 Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:

   

    т.е

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

5. Направляющие косинусы вектора. Направляющие косинусы единичного вектора.

Направляющие косинусы вектора.

Пусть дан вектор  ( _х, _у, _z).

Обозначим углы наклона этого вектора к осям Ох, Оу и Oz соответственно буквами   ,  и  . Три числа cos   , cos   и cos  принято называть направляющими косинусами вектора  . Полагая  =  (1; 0; 0) получаем из (9)

Аналогично

Из формул (11) - (13) следует:

1) сos²  + cos²   + cos²  = 1,

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого ненулевого вектора равна единице;

т.е. направляющие косинусы этого вектора пропорциональны его соответствующим проекциям.

Примечание. Из формул (11)-(13) видно, что проекции любого единичного вектора   на оси координат соответственно совпадают с его направляющими косинусами и, следовательно,

Пример. Найти направляющие косинусы вектора  (1; 2; 2). По формулам (11)-(13) имеем

6. Векторное произведение: определение и свойства. Площадь параллелограмма и треугольника. Выражение векторного произведения через координаты

Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. 

Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

      

 Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. са и сb;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е. 

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):

i х j = k,    j х k = i,    k х i = j.  Докажем, например, что iхj=k.

1) ki, kj;

2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;

3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

7.  Смешанное произведение векторов. Объем параллелепипеда.

Смешанным произведением векторов  ,   и   называется число, равное скалярному произведению вектора   на вектор, равный векторному произведению векторов   и  .

            Обозначается  или ( ,  , ).

Смешанное произведение  по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах  ,   и  .