17.Непрерывные Случайные величины. Плотность вероятности. Свойства плотности вероятности.

Основные определения и формулы

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любые возможные значения на открытом, полуоткрытом или закрытом интервале числовой оси. Более строго: случайная величина называется непрерывной, если существует неотрицательная функция  , удовлетворяющая при любых   равенству

Здесь   функция распределения случайной величины  , т.е. 

Функция   называется плотностью (распределения) вероятности или дифференциальной функцией распределения. Функция   называется также интегральной функцией распределения.

Свойства 1–4 функции распределения (см. раздел 1) сохраняются. Свойства функции  :

1. 

2. 

3. (Условие нормировки),

4. 

Величина  , определяемая равенством  , называется квантилью порядка  ; квантиль порядка 0,5 называется медианой.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется

.

Дисперсией непрерывной случайной величины называется

.

Нетрудно убедиться, что указанные в разделе 1 свойства математического ожидания и дисперсии сохраняются и для непрерывной случайной величины.

Как и ранее, среднее квадратическое отклонение  , и вероятность попадания случайной величины в интервал 

Пример 2.2.1. Случайная величина задана своей плотностью распределения вероятности

Найти константу 

Решение.

Константу   найдем из условия нормировки

Найдем  :

Контроль: 

Вычислим  :

Вычислим вероятность попадания случайной величины в интервал (0, 2):

Плотность вероятности — один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве  . В случае когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины.

Пусть   является вероятностной мерой на  , то есть определено вероятностное пространство  , где   обозначает борелевскую σ-алгебру на  . Пусть  обозначает меру Лебега на  .

Определение 1. Вероятность   называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) ( ), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:

Если вероятность   абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция   такая, что

,

где использовано общепринятое сокращение  , и интеграл понимается в смысле Лебега.

Определение 2. В более общем виде, пусть   — произвольное измеримое пространство, а   и   — две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная  , позволяющая выразить меру   через меру   в виде

то такую функцию называют плотностью меры   по мере  , или производной Радона-Никодима меры   относительно меры  , и обозначают

.

Свойства плотности вероятности

• Плотность вероятности определена почти всюду. Если   является плотностью вероятности   и   почти всюду относительно меры Лебега, то и функция   также является плотностью вероятности  .

• Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:

.

Обратно, если   — неотрицательная п.в. функция, такая что  , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера   на   такая, что   является её плотностью.

• Замена меры в интеграле Лебега:

,

где   любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры  .