12.Свойства преобразования Фурье

Дифференцирование сигнала

К ак влияет на спектр дифференцирование сигнала во временной области? По определению производной: Применим к этому выражению преобразование Фурье:

Спектр производной получается путем умножения исходного сигнала на jω.

При дифференцировании низкие частоты ослабляются, а высокие усиливаются. Фазовый спектр сигнала сдвигается на 90° для положительных частот и на -90° для отрицательных.Множитель jω называют оператором дифферен-цирования сигнала в частотной области.

Интегрирование сигнала

И нтегрирование является операцией обратной дифференцированию. Поэтому, исходя из полученных ранее результатов, можно было бы ожидать следующий результат:

О днако детальный анализ показывает, что эта формула справедлива лишь для

сигналов, не содержащих постоянной составляющей, у которых

В общем же случае результат должен содержать дополнительное слагаемое

в виде дельта-функции на нулевой частоте. Множитель перед дельта-функцией пропорционален постоянной составляющей сигнала:

При интегрировании исходного сигнала высокие частоты ослабляются, а низкие усиливаются.

Фазовый спектр сигнала смешается на -90° для положительных частот и на 90° для отрицательных. Множитель 1/jω называют оператором интегрирова-ния в частотной области.

Спектр свертки сигналов

С вертка сигналов является очень часто используемой в радиотехнике интегральной операцией, поскольку она описывает, в частности, прохождение сигнала через линейную систему с постоянными параметрами: Применим преобразование Фурье:

Полученный результат очень важен, он часто используется на практике: спектр свертки равен произведению спектров.

Спектр произведения сигналов

П усть тогда, представив сигнал f(t) с помощью обратного преобразования Фурье от его спектральной функции:

Спектр произведения представляет собой свертку спектров.

Связь преобразования Фурье и коэффициентов ряда Фурье

Пусть s(t) — сигнал конечной длительности, а S(ω) — его спектральная функция. Получим на основе s(t) периодический сигнал, взяв период повторения Т не меньше длительности сигнала:

Формулы для расчета преобразования Фурье сигнала s(t) и для расчета

коэффициентов ряда Фурье сигнала sT(t) предполагают вычисление одного и того же интеграла. Но для расчета коэффициентов ряда Фурье в подынтегральное выражение подставляются не произвольные, а дискретные значения частоты ωk=2πk/t и, кроме того, результат интегрирования делится на период сигнала Т.Между спектральной функцией S(ω) одиночного импульса и коэффициентами Ck ряда Фурье для периодической последовательности таких импульсов существует простая связь