1.1. Метод условных распределений

Метод получил свое название из-за того, что он связан с определением условных одномерных распределений для каждого отсчёта случайного процесса . Каждый отсчет моделируется с помощью датчика случайных чисел, имеющего соответствующее (условное) распределение.

Определение условных плотностей вероятности для легко может быть осуществлено на основе соотношений (1.2), (1.3).

Для одного отсчета моделируемого случайного процесса, обычно это первый отсчет , на основании (1.2) определяется безусловная плотность вероятности:

.

(1.4)

Для следующего, например второго, отсчета, может быть определена условная одномерная плотность вероятности (1.3): , причем совместная плотность вероятности определяется в соответствии с (1.2):

Для третьего отсчета может быть определена условная плотность вероятности

.

Ясно, что для каждого очередного отсчёта условная плотность вероятности определяется, как плотность вероятности при условии, что предыдущие отсчёты найдены:

,

(1.5)

где уже определялась при выполнении условной плотности вероятности , а

.

(1.6)

Рекуррентные соотношения (1.5) (1.6) совместно с (1.4) определяют условные плотности вероятности , которые и используются для построения датчиков случайных чисел соответственно. Многомерная плотность вероятности выражается через плотности вероятности как

И з этого выражения следует, что дискретные отсчёты каждой реализации случайного процесса с номером моделируются последовательно: сначала датчиком случайных чисел генерируется отсчет , затем отсчет с помощью датчика случайных чисел с распределением и так далее. Моделирование происходит в соответствии со схемой рис. 1.3.

Таким образом, метод условных распределений позволяет моделировать случайные процессы с произвольной многомерной плотностью вероятности . Практическое использование этого метода связано с громоздкими вычислениями интегралов (1.4), (1.6). Если эти интегралы не вычисляются в конечном виде, необходимы приближенные вычисления.

Программирование по этому методу также весьма громоздко, так как требует реализации датчиков случайных чисел с несовпадающими распределениями . Условные плотности вероятности зависят от параметров. Эта зависимость может быть в частном случае параметрической, но в общем случае вид плотностей вероятностей может изменяться при изменениях значений , что может существенно усложнить программирование. При больших значениях сложность вычислений и программирования могут существенно возрастать. Из-за большого объема необходимой подготовительной работы и сложности программирования метод условных распределений используется редко. Однако при моделировании марковских процессов этот метод является наиболее эффективным (см. разд. 1.3).

1.2. Метод неймана (метод отбора)

Метод Неймана свободен от недостатков метода условных распределений, вызванных большим объемом подготовительной работы и сложностью программирования. Этот метод относится к так называемым методам отбора. Идея метода заключается в следующем. На первом шаге моделируется реализация случайного процесса с равномерной плотностью вероятности в области определения совместной плотности вероятности , а на втором шаге производится отбор, заключающийся в том, что каждая реализация, сформированная на первом шаге, либо принимается в качестве конечного результата, либо отбрасывается. Отбор на втором шаге осуществляется с вероятностью, пропорциональной . Оба шага достаточно просто реализуются при цифровом моделировании с использованием стандартных датчиков случайных чисел с равномерным законом распределения.

Рассмотрим подробности реализации метода Неймана для случая , т.е. когда моделируются лишь два отсчета случайного процесса . На рис. 1.4 представлена совместная плотность вероятности в виде пирамиды ABCD. Область определения по оси есть , по оси область определения есть . Максимальное значение (высота пирамиды) равно .

На первом шаге определяется случайная точка , которая с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке прямоугольника со сторонами и , расположенного в плоскости . Этот шаг можно выполнить с помощью датчиков независимых равномерно распределенных случайных величин и с распределениями, равными:

где  равномерная плотность вероятности на интервале :

. Случайные равномерно распределенные величины легко могут быть сформированы из случайных величин со стандартным законом распределения , т.е. равномерно распределенных на интервале .

Датчики случайных чисел с таким законом распределения обычно включены в состав математического обеспечения современных компьютеров. Величины и формируются из по следующим формулам:

,

где номер реализации случайной величины и независимые случайные величины с распределением .

На втором шаге производится отбор точки с помощью моделирования события с вероятностью, пропорциональной . Для этого генерируется случайное число , представляющее реализацию случайной величины , равномерно распределенной на интервале :

п ричем формируется с помощью соотношения где  реализация случайной величины , равномерно распределенной на интервале .

Точка принимается в качестве реализации случайного процесса с многомерной плотностью вероятности , если , и “забраковывается”, если . Таким образом:

,

(1.7)

номер реализации случайного процесса.

Если же , то происходит переход к первому шагу, при этом индекс увеличивается на 1 .

Числа , являющиеся реализациями случайных независимых величин с распределением , на практике могут генерироваться одним датчиком случайных чисел.

Докажем, что реализация есть реализация случайного процесса с заданной совместной плотностью вероятности .

Пусть  реализация случайного процесса, характеризующаяся совместной плотностью вероятности и функцией распределения

.

Определим в соответствии с правилом отбора (1.7), а значит, и , и сравним их с заданными .

Функция распределения есть вероятность того, что отсчёты и одновременно меньше, чем и соответственно. Эта вероятность в соответствии с (1.7) является условной совместной вероятностью:

(1.8)

Знаменатель этого выражения есть вероятность того, что точка окажется под кривой . Эта точка с одинаковой вероятностью может оказаться в любой точке параллелепипеда AEFBGHIJD (рис. 1.4), в который вписана объемная фигура (призма ABCD), представляющая заданную плотность . Так как объем пирамиды равен единице (1.1), а объем параллелепипеда равен , то

(1.9)

Ч ислитель определяется также, только вместо объема под поверхностью здесь должна быть взята лишь часть объема, ограниченная плоскостями, соответствующими и , т.е.

Таким образом, в соответствии с (1.8)

что и требовалось доказать.

Это доказательство легко распространяется на случай произвольного числа отсчётов , т.е. метод Неймана обеспечивает моделирование случайного процесса с заданной совместной плотностью вероятности.

Достоинством метода Неймана является простота реализации, отсутствие предварительных расчетов и простота программирования. Наибольшая сложность при программировании  вычисление заданной совместной плотности вероятности в случайной точке .

Наряду с достоинством метод Неймана обладает также существенным недостатком  многие обращения к датчикам случайных чисел и дальнейшие вычисления, в том числе и осуществляются как бы без результата, если нарушено условие (1.7). Конечно, отбор, соответствующий этому условию, производится не “в холостую”, а определяет заданную совместную плотность вероятности. Из-за этого количество обращений к датчикам и вычислений (1.7) может оказаться намного меньшим числа генерируемых с помощью метода Неймана реализаций случайного процесса. Эффективность метода Неймана может характеризоваться коэффициентом отбора , показывающим, сколько в среднем обращений к датчикам и дальнейших вычислений приходится на одну генерируемую реализацию случайного процесса. Коэффициент отбора обратно пропорционален вероятности того, что условие выполняется, т.е., в соответствии с (1.9) .

При увеличении величина , как правило, возрастает, что является существенным недостатком метода Неймана, так как приводит к возрастанию машинного времени.