IV Варианты исчисления
Озви ом
Вариации h, вариация ∂I(ξ,h)
Необходимые условия оптимальности в терминах вариации.
Пусть
дана некоторая допустимая кривая
,
тогда функция
называется вариацией
этой допустимой кривой,
если
снова является допустимой, то есть
.
Удобно
вариацию представлять в виде:
,
где
– описывает форму вариации, а множитель
её величину. Аналог в конечномерном
программировании:
.
Ясно,
что при
,
поэтому функцию
также называют вариацией
допустимой кривой.
Из
определения допустимых кривых вытекает,
что некоторая функция
будет вариацией тогда и только тогда,
когда
1)
;
2)
.
То есть вариация имеет вид:
Обозначим
через
.
Для нашей задачи ясно, что некоторая
вариация
подходит сразу для всех допустимых
кривых.
Вариация
называется тривиальной,
так как она оставляет любую допустимую
кривую на месте. Вариация – основной
инструмент исследования основной задачи
вариационного исчисления.
Определение.
Зафиксируем
некоторую допустимую кривую
и вариацию
,
тогда если допустимо разложение
,
то коэффициент при
называется первой
вариацией функционала,
а коэффициент при
– второй
вариацией функционала.
Получим для основной задачи вариационного исчисления вид 1-ой и 2-ой вариации. Из теории разложения функции в ряд вытекает, что 1-ой вариации функционала вид:
Из
соотношения (2) видно, что если зафиксировано
,
то первая вариация представляет из себя
некоторое число. Из теории разложения
функции в ряд следует, что 2-ая вариация
функционала имеет вид:
Видно,
что 2-ая вариация представляет из себя
некоторое число при фиксированных
.
Необходимое условие оптимальности в терминах вариации
Теорема
1.
Пусть
– слабая минималь основной задачи
вариационного исчисления, тогда:
1)
;
2)
.
Доказательство.
1) Пусть
– слабая минималь, предполагаем
противное:
,
тогда из разложения получаем:
где
предполагаем, что
-малое
и противоположного знака знаку числа
.
При достаточно малом
.
Тогда это неравенство противоречит,
что
– слабая минималь.
2)
Пусть
– слабая минималь, предполагаем
противное, что существует
такая, что
.
Из разложения имеем:
для
достаточно малого
,
то есть
– противоречит, что
– слабая минималь.
Ч.т.д.
В частности, условие стационарности из теоремы 1 можно записать в явном виде: если – слабая минималь, то
(4)
Условие Эйлера, его применение +лаб.раб.№6 (часть 2)
Теорема 2(условие Эйлера). Если – слабая миниамаль основной задачи вариационного исчисления, то она необходимо всюду на [a,b] должна удовлетворять уравнению
(уравнение
Эйлера) (6)
(то есть при подстановке в уравнение (6) должна обращать его в верное тождество на [a,b]).
Доказательство. Пусть – слабая миниамаль, тогда по теореме 1 выполняется условие стационарности, то есть выполняется равенство (4). Второе слагаемое в (4) проинтегрируем по частям:
.
Полученное подставим в (4), в результате получим:
.
Поскольку
в квадратных скобках стоит непрерывная
функция
,
то используя лемму Лагранжа, приходим
к тождеству:
.
Ч.т.д.
Теорема 3 (Интегральное условие Эйлера). Пусть – слабая минималь ОЗВИ, тогда всюду на [a,b], она удовлетворяет уравнению:
(10)
