1. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение нсв с равномерным распределением на отрезке .

1)Мат. Ожиданием НСВ называют Интеграл от а до b, MX= , где f(x) – функция плотности этой НСВ.

Т.к. мат.ожидание НСВ получено из мат.ожидания ДСВ с помощью предельного перехода, то все св-ва мат.ожидания сохраняются:

1)МС=С

2)М(Х У)=МХ МУ

3)М(СХ)=СМХ

4)М(ХУ)=МХМУ(для независимых)

Дисперсией называют мат.ожидание квадрата отклонения,

DX=

Св-ва:

1)DC=0

2)D(X Y)=DX+DY(независимых)

3)D(CX)= DX

4)DX=M -

Среднеквадратическое отклонение

БИЛЕТ 29

1. Дисперсия дсв. Выражение дисперсии через математическое ожидание. Отклонение дсв. Среднеквадратическое отклонение.

1)Для получения представления о разбросе возможных значений ДСВ относительно ее мат.ожидания вводят понятие дисперсии.

Дисперсией ДСВ называют мат.ожидание, квадрата ее отклонения.

DX=M

Из определения следует: DX=

Теорема.

Дисперсия случ.велечины равна разности мат.ожидания его квадрата и квадрата ее мат.ожидания DX =M -

Доказательство:

По определению DX=M =(возведем в квадрат)=M( -2XMX+ )=(по формуле мат.ожидания суммы и разности)= M -M(2XMX)+M( )=(во втором слагаемом два постоянных множителя, а третье слагаемое содержит постоянную)=

M -2MX MX+ = M -2 + = M -

Отклонением случ.велечины называют разность между случ.величиной и ее мат.ожиданием.

Отклонение X-MX это случ.величина каждое свое значение Xi-MX она принимает с вероятностью pi=P(X=xi).

Случ.величина и ее мат.ожидание имеют одинаковую размерность, а дисперсия имеет размерность квадрата случ.величины, это не очень удобно, поэтому вводится понятие среднеквадратического отклонения как корня квадратного из дисперсии,

БИЛЕТ 30

1. Математическое ожидание дсв и его свойства:

1)Мат.ожиданием MX случ.величины Х называют сумму произведений всех возможных значений ДСВ на их вероятности. MX= , где pi=P(X=xi)

Свойства мат.ожидания:

Теорема.

Мат.ожидание произведения независимых случ.величин равно произведению их мат.ожиданий M(XY)=MX MY(независимые)

Докозательство:

Пусть Х: и Y: , обозначим =(X=xi,Y=yj). Т.к. эти случ.величины независимы, то =P(X=xi) P(Y=yj)=pi qj. Рассмотрим мат.ожидание M(XY)= = pi qj= (изменим порядок множеств)= qj)=(эту двойную сумму слагаемых состоящих из двух множителей можно записать как произведение 2-ух сумм по первому индексу 1-ого множителя и по 2-му индексу 2-ого множителя)

= =MX MY

Следствие.

Постоянный множитель выносится за знак мат.ожидания M(CX)=C MX

Доказательство

M(CX)=MC MX=C MX

Следствие.

Мат.ожидание разности равно разности мат.ожиданий

М(Х-У)=МХ-МУ

Доказательство:

M(X-Y)=M(X+(-Y))=MX+M(-Y)=MX+M((-1)Y)=MX+(-1)MY=MX-MY

БИЛЕТ 31

1. Формулы Байеса.

1)Пусть случайное событие B происходит вместе с одним из полной системы несовместных событий А1,А2,…,Ак. Вероятность этих событий Р(А1), Р(А2),…,Р(Ак). Пусть событие В произошло, требуется найти Р(Аi/B).

По формуле вероятности произведения, Р(Аi B)=P(Ai) P(B/Ai) и Р(Bi A)=P(B) P(Ai/B), сравнивая эти две формулы получаем P(B) P(Ai/B)= P(Ai) P(B/Ai), отсюда P(Ai/B)= , подставив сюда вероятность В по формуле полной вероятности получим формулы Байеса.

P(Ai/B)= их к-штук

Эти формулы называют так же формулами проверки статистических гипотез.