Розділ 2. Аналітична геометрія. Векторна алгебра

Аналітична геометрія - це розділ математики, в якому властивості геометричних об'єктів (точок, ліній, фігур то­що) вивчаються з використанням алгебраїчних методів.

Основоположником аналітичної геометрії вважають фра­нцузького математика та філософа Р. Декарта (1596 - 1650 рр.), який розробив метод координат, що є основним апаратом аналі­тичної геометрії.

В аналітичній геометрії розв'язують такі дві задачі:

1. дано лінію як множину точок, потрібно скласти її рів­няння.

2. дано рівняння лінії і потрібно побудувати лінію, що описується цим рівнянням.

2.1. Векторна алгебра

2.1.1. Векторні та скалярні величини. -вимірний вектор. Векторний простір

Скалярними величинами називаються величини, які ха­рактеризуються лише числовим значенням (довжина, площа, температура).

Векторними величинами називаються величини, які ви­значаються не тільки числовим значенням, а й напрямком (шви­дкість, сила, прискорення).

Вектором називається напрямлений відрізок, тобто від­різок, для якого зазначено, яка з його точок є першою (початок вектора), а яка - другою (кінець вектора).

Вектор , або вектор : — початок,

— кінець вектора.

Довжиною (модулем) вектора (позначається ) на­зивають довжину відрізка, що зображує вектор.

-вимірним вектором називають упорядковану сукуп­ність п дійсних чисел, яка записується у вигляді .

Числа називають координатами (компонен­тами) вектора . Число називають розмірністю вектора .

Поняття -вимірного вектора широко використовується в економічних задачах. Наприклад, деякий набір товарів можна охарактеризувати вектором , а відповідні ціни одиниці товару - вектором .

Множина всіх -вимірних векторів називається -ви­мірним простором і позначається .

Векторні простори можна розглядати відпові­дно як множину векторів на прямій, множину векторів на пло­щині та множину векторів у тривимірному просторі.

2.1.2. Різновиди векторів

Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати, тобто

, якщо

Вектор називається нульовим (нуль-вектором), якщо всі його координати дорівнюють нулю: . Вектор називається протилежним вектору . Два ненульові вектори і називаються колінеарними (паралельними), якщо їх відповідні координати пропорційні:

Вектор називається одиничним (нормованим), якщо його довжина дорівнює одиниці.

Одиничні вектори, які мають напрями додатних коорди­натних півосей, називаються координатними векторами (ор­тами):

Два вектори називаються перпендикулярними (взаємно ортогональними), якщо сума добутків відповідних координат векторів (скалярний добуток векторів) дорівнює нулю.

2.1.3. Дії з векторами, заданими в координатній формі

1. Сумою -вимірних векторів і називають -вимірний вектор ,координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів- додатків, тобто

Наприклад, якщо , то .

2. Добутком числа (скаляра) на -вимірний вектор називається -вимірний вектор , координати якого дорівнюють добутку числа на відповідні координати ве­ктора ,тобто

Наприклад,

якщо , то .

Властивості додавання векторів та множення числа на вектор ( - деякі числа):

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. Для довільного вектора існує протилежний вектор такий, що .

3. Різницею векторів і називають вектор , який позначатимемо .

4. Скалярним добутком двох -вимірних векторів і називають число, що дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів, тобто

Наприклад,

якщо , то

Скалярний добуток має простий економічний зміст. Як­що -вектор об'ємів різних товарів, а - вектор їх цін, то скалярний добуток виражає загальну ва­ртість усіх цих товарів.