Потоки Пальма и Эрланга

Разберем некоторые смежные понятия. Поток Пальма — это поток событий, которые предполагает, что интервалы времени между последовательными событиями:

 

являются одинаково распределенными величинами, которые не предусматривают зависимости.

Простейший поток — это частный случай потока Пальма. Здесь расстояния есть случайные величины, распределение которых осуществляется в соответствии с одним и тем же показательным законом. Их независимость основывается на том, что простейший поток представлен в качестве потока без последствий, и расстояние по времени между любыми двумя событиями не зависят от расстояния других событий.

На практике часто встречаются такие потоки, которые могут быть приближенно заменены потоками Пальма.

В качестве образцов потоков Пальма могут быть представлены потоки Эрланга, которые возникают при осуществлении «просеивания» простейших потоков.

Скажем, если на оси из существующих точек оставить каждую вторую (процесс просеивания), то опять возникнет поток событий. Его и называют потоком Эрланга второго порядка.

В целом, под потоком Эрланга -го порядка понимают поток, образующийся при сохранении в простейшем потоке каждой точки и исключении остальных. Таким образом, простейший поток — это частный случай Эрланга, то есть поток Эрланга первого порядка ( ).

Промежуток времени -го порядка это ничто иное, как сумма независимых случайных расстояний между событиями в начальном простейшем потоке:

26. Формулы Эрланга.

19.9. Установившийся режим обслуживания. Формулы Эрланга

Рассмотрим -канальную систему массового обслуживания с отказами, на вход которой поступает простейший поток заявок с плотностью ; время обслуживания - показательное, с параметром . Возникает вопрос: будет ли стационарным случайный процесс, протекающий в системе? Очевидно, что в начале, сразу после включения системы в работу, протекающий в ней процесс еще не будет стационарным: в системе массового обслуживания (как и в любой динамической системе) возникнет так называемый «переходный», нестационарный процесс. Однако, спустя некоторое время, этот переходный процесс затухнет, и система перейдет на стационарный, так называемый «установившийся» режим, вероятностные

Во многих задачах практики нас интересуют именно характеристики предельного установившегося режима обслуживания.

Можно доказать, что для любой системы с отказами такой предельный режим существует, т. е. что при  все вероятности  стремятся к постоянным пределам , а все их производные - к нулю.

Чтобы найти предельные вероятности  (вероятности состояний системы в установившемся режиме), заменим в уравнениях (19.8.8) все вероятности    их пределами , а все производные положим равными нулю. Получим систему уже не дифференциальных, а алгебраических уравнений

                   (19.9.1)

К этим уравнениям необходимо добавить условие

.                  (19.9.2)

Разрешим систему (19.9.1) относительно неизвестных . Из первого уравнения имеем

.                 (19.9.3)

Из второго, с учетом (19.9.3),

;        (19.9.4)

аналогично из третьего, с учетом (19.9.3) и (19.9.4),

,

и вообще, для любого

.                      (19.9.5)

Введем обозначение

                         (19.9.6)

и назовем величину  приведенной плотностью потока заявок. Это есть не что иное, как среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки. Действительно,

,

где  - среднее время обслуживания одной заявки. В новых обозначениях формула (19.9.5) примет вид

.               (19.9.7)

Формула (19.9.7) выражает все вероятности  через . Чтобы выразить их непосредственно через  и , воспользуемся условием (19.9.2). Подставив в него (19.9.7), получим

,

откуда

.             (19.9.8)

Подставляя (19.9.8) в (19.9.7), получим окончательно

   .                (19.9.9)

Формулы (19.9.9) называются формулами Эрланга. Они дают предельный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от характеристик потока заявок и производительности системы обслуживания. Полагая в формуле (19.9.9) , получим вероятность отказа (вероятность того, что поступившая заявка найдет все каналы занятыми):

.             (19.9.10)

В частности, для одноканальной системы ( )

,                             (19.9.11)

а относительная пропускная способность

.               (19.9.12)

Формулы Эрланга (19.9.9) и их следствия (19.9.10)-(19.9.12) выведены нами для случая показательного распределения времени обслуживания. Однако исследования последних лет показали, что эти формулы остаются справедливыми и при любом законе распределения времени обслуживания, лишь бы входной поток был простейшим.

Пример 1. Автоматическая телефонная станция имеет 4 линии связи. На станцию поступает простейший поток заявок с плотностью  (вызова в минуту). Вызов, поступивший в момент, когда все линии заняты, получает отказ. Средняя длительность разговора 2 минуты. Найти: а) вероятность отказа; б) среднюю долю времени, в течение которой телефонная станция вообще не загружена.

Решение. Имеем  (мин);

 (разг/мин),  .

а) По формуле (19.9.10) получаем

.

б) По формуле (19.9.8)

.

Несмотря на то, что формулы Эрланга в точности справедливы только при простейшем потоке заявок, ими можно с известным приближением пользоваться и в случае, когда поток заявок отличается от простейшего (например, является стационарным потоком с ограниченным последействием). Расчеты показывают, что замена произвольного стационарного потока с не очень большим последействием простейшим потоком той же плотности , как правило, мало влияет на характеристики пропускной способности системы.

Наконец, можно заметить, что формулами Эрланга можно приближенно пользоваться и в случае, когда система массового обслуживания допускает ожидание заявки в очереди, но когда срок ожидания мал по сравнению со средним временем обслуживания одной заявки.

Пример 2. Станция наведения истребителей имеет 3 канала. Каждый канал может одновременно наводить один истребитель на одну цель. Среднее время наведения истребителя на цель  мин. Поток целей - простейший, с плотностью  (самолетов в минуту). Станцию можно считать «системой с отказами», так как цель, по которой наведение не началось в момент, когда она вошла в зону действия истребителей, вообще остается не атакованной. Найти среднюю долю целей, проходящих через зону действия не обстрелянными.

Решение. Имеем ; ; .

По формуле (19.9.10)

.

Вероятность отказа ; она же выражает среднюю долю необстрелянных целей.

Заметим, что в данном примере плотность потока целей выбрана такой, что при их регулярном следовании одна за другой через определенные интервалы и при точно фиксированном времени наведения  мин номинальная пропускная способность системы достаточна для того, чтобы обстрелять все без исключения цели. Снижение пропускной способности происходит из-за наличия случайных сгущений и разрежений в потоке целей, которые нельзя предвидеть заранее.