18.Наивероятнейшее число появления событий в последовательности независимых испытаний

Опр.: Наивероятнейшим числом m₀ наступления соб. А в n независим. испытаниях назыв. число, для кот. вер. превышает или по крайней мере не менее вер. каждого из остальных возм. исходов исп. Пусть соб. А наступило m₀ раз в n испы. Вер. появл. соб. А обозначим p; P(A)=p, а , тогда по формуле Бернули . По определению: -формула (1); -формула (2). Из нер-ва (1) получаем: ; ; . Т.к. q+p=1, то . Из нер-ва (2) получаем: ; ; ; . Т,о. для нахождения наивероятнейшего числа мы получили нер-во: . Замечание 1: Длина интервала, определяемая нер-вом равна 1; Замечание 2: Если границы интервала – дробные числа, то значение наивероятнейшего числа одно. Если границы – целые числа, то знач. наивер. числа два.

19.Формула Пуассона

Если вер. события p в отд. испытании близка к 0, то даже при большом числе испытаний n, но небольшой величине вероятности , получен. по лок. формуле Лапласа недостаточно близки к их ист. знач.м. В таких случаях применяют формулу Пуассона. Теорема: Если вер. p наступления соб. А в кажд. исп постоянна, но близка к 0, число независим. Исп. n достаточн. велико, а , то вер. того, что в n независ. испытаниях соб. А наступит m раз . Это формула Пуассона. Док-во: Для вычисления вер. воспользуемся ф. Бернулли:

(Т.к. ,то )= Т.к. по условию n велико, то найдем предел правой части последн. равенства при , при этом будет получено приближен. значение вер.: = = = = Пределы всех скобок, кроме предпоследн. равны 1 при . Сл-но вер. того, что в n исп. соб. появится m раз . Замечание: Ф. Пуассона обычно используют, когда , а .

52 Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода. Проверяя гипотезы с помощью статистического критерия, может возникнуть одна из четырех ситуаций: 1) гипотеза H0 истинна (и поэтому H1 – ложна) и предпринимается действие А; 2) гипотеза H1 истинна (и поэтому H0 – ложна) и предпринимается действие А; 3) ) гипотеза H0 истинна (и поэтому H1 – ложна) и предпринимается действие В; 4) гипотеза H1 истинна (и поэтому H0 – ложна) и предпринимается действие В. В ситуациях 2 и 3 получается ошибка. Существует 2 типа ошибок. Ошибка, состоящая в принятии гипотезы H0, когда она ложна (ошибка второго рода), качественно отличается от ошибки, состоящей в отвержении H0, когда она истинна (ошибка первого рода). При этом числа αi = αi(δ) = Pi(δ(X)≠ Hi), характеризующие вероятность отвержения гипотезы Hi, когда она верна, называют вероятностями ошибок (i+1)-го рода критерия δ. Набором вероятностей αi(δ) ошибочных решений характеризуется кач-вом критерия δ. Правильное решение также может быть принято двумя способами (ситуации 1 и 4): когда гипотеза H0 принимается, ибо она верна, и когда гипотеза H0 отвергается, ибо она ложна. В ситуации 1 не совершается ошибка первого рода, в ситуации 4 – второго рода. Уровень значимости критерия не меняет степени риска, связанного с возможностью ошибки второго рода, т.е. с принятием неверной гипотезы. И при данном уровне значимости можно по-разному определить критическую область. Как правило, ее определяют так, чтобы мощность критерия 1 – α1(δ) была возможно большей: P (X Î ] x1; x2[|H1) = max. Мощностью критерия δ называется вероятность 1 – α1(δ) несовершения ошибки второго рода. Чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность принятия неверной гипотезы.