10. Функции n переменных. Градиент. Производная по направлению. Дифференцируемость и полный дифференциал.

Производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению: . В частности, для функции трех переменных , - направляющие косинусы вектора .

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора и вектора с координатами , который называется градиентом функции и обозначается . Поскольку , где - угол между и , то вектор указывает направление скорейшего возрастания функции , а его модуль равен производной по этому направлению.

Полный дифференцал. Для приращения дифференцируемой функции справедливо равенство . Линейная по приращениям аргументов часть приращения функции называется полным дифференциалом функции и обозначается .

11. Функции n переменных. Экстремумы. Определение. Необходимые и достаточные условия экстремума.

Экстремум функции многих переменных. Функция f (M) имеет в точке М0(х0, у0) локальный минимум, если f (M) > f (M0) для любых точек М О ε(М0), М ≠ М0.Функция f (M) имеет в точке М0(х0, у0) локальный максимум, если f (M) < f (M0) для любых точек М Оε(М0), М ≠ М0. Локальный максимум и локальный минимум называются экстремумами функции многих переменных. Эти определения можно перефразировать в терминах приращений. Если х = х0 + Δх, у = у0 + Δу, то, как известно, полным приращением функции многих переменных является

Δ f = f (x, y) – f (x0, y0) = f (x0 + Δx, y0 + Δy) – f(x0, y0). Если Δ f < 0 для всех малых приращений независимых переменных, то f (x, y) достигает локального максимума в точке М0(х0, у0). Если Δf > 0 для всех малых приращений независимых переменных, то f(x, y) достигает локального минимум в точке М0(х0, у0).

Необходимое условие экстремума.Функция z = f ( x, y) может иметь экстремум лишь в тех точках, в которых обе частные производные обращаются в ноль или перестают существовать. Действительно, фиксируя попеременно х = х0 или у = у0, получим попеременно функцию одного аргумента, для которой воспользуемся необходимым условием экстремума функции одного переменного. Эта теорема не является достаточной, но позволяет находить точки, «подозрительные на экстремум».

12. Неопределенный интеграл: определение, свойства, табличные интегралы.

Определение первообразной и неопределенного интеграла.Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение где С - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла. В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,

а, k, C - постоянные величины.1) 2) 3)

Таблица интегралов. В формулах ниже предполагается, что a, p (p ≠ 1), C - действительные постоянные, b - основание показательной функции (b ≠ 1, b > 0).