9.Сходится ли интеграл ?

Т.к. ограничена, то предел существует, поэтому интеграл сходится

14. Дайте определение расстояния между точками . Сформулируйте и докажите свойства функции .

В , где n>3, расстояние между точками определяется формулой

Где, А и В – две произвольные точки из .

Свойства:

1. , если ,и ;

2. 

3. - «неравенство треугольника» (1)

Доказательства: Первые два свойства очевидным образом следуют из определения расстояния.

1)Область значений функции равна .

2) Дано: , тогда ; . ЧТД

3) Сначала проверим неравенство (1):

,где – какие угодно числа. Взяв любое число х, запишем равенство 1:

,где . Очевидно, Квадратный трехчлен , как показывает левая часть равенства 1, неотрицателен при любом значении х. Следовательно, его дискриминант , откуда имеем , или неравенство 2:

Но если возвести в квадрат обе части неравенства 1 и сократить слева и справа равные слагаемые, то получим неравенство 2.

Опираясь на неравенство 1, докажем теперь «неравенство треугольника». Если в неравенстве 1 положим, что , то придем к

, т.е. к «неравенству треугольника» для трех точек p,q,r в .

10. Сходится ли интеграл ?

11. При каких значениях α сходится интеграл ? Ответ обоснуйте.

Интегральный признак сходимости. Пусть члены числового ряда являются значениями неотрицательной непрерывной функции , монотонно убывающей на луче [1;+∞). Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

При α>1 , следовательно интеграл сходятся.

15. Дайте определение открытого множества в . Является ли множество открытым? Ответ обоснуйте.

Множество Х называется открытым, если все его точки внутренние. Точка р называется внутренней точкой множества Х , если она содержится в Х вместе с некоторой своей .

Множество не является открытым, т.к. точка , принадлежит D, но в любой её сколько угодно малой окрестности есть точки, не лежащие в D (например, точки (х,у), для которых .

16. Дайте определение замкнутого множества в . Является ли множество замкнутым? Ответ обоснуйте.

Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки. Точка р называется граничной точкой для Х, если любая её окрестность содержит как точки, принадлежащие Х, так и точки, не принадлежащие Х. Множество не является закрытым, т.к. точка , не принадлежит D, но в любой её окрестности есть точки, лежащие в D.

17. Дайте определение открытого множества в . Является ли множество открытым? Ответ обоснуйте.

Множество Х называется открытым, если все его точки внутренние. Точка р называется внутренней точкой множества Х , если она содержится в Х вместе с некоторой своей .

Множество является открытым, т.к. точки лежит в D.

18. Дайте определение предельной точки множества. Приведите примеры: а) множества, содержащего все свои предельные точки, б) множества, для которого существует предельная точка, ему не принадлежащая.

Пусть Х – множество в , точка называется предельной для Х, если в любой Х, отличные от .

А) замкнутый круг:

Б) замкнутый круг без своего центра . В этом случае центр (0,0) и есть та предельная точка, которая не принадлежит самому множеству.

19. Дайте определение сходящейся последовательности точек в . К какой точке в сходится последовательность ? Ответ обоснуйте.

Пусть - последовательность точек в . Мы говорим, что эта последовательность сходится к точке , если числовая последовательность имеет предел 0. Если А – предел последовательности, то говорят, что сходится к точки А.

Поскольку то А=(

20. Дайте определение сходящейся последовательности точек в . К какой точке в сходится последовательность ? Ответобоснуйте.

Пусть - последовательность точек в . Мы говорим, что эта последовательность сходится к точке , если числовая последовательность имеет придел 0. Если А – предел последовательности, то говорят, что сходится к точки А:

Поскольку = , то А=(

22. (определение 21) Доказать, что не имеет предела в точке (0,0)

Рассмотрим две последовательности точек, сходящихся к (0,0) :

(0; ) и ( ;0)

1. = =-1 и -1

2. = =-1 и

26. (определение 25)

Найти частные производные

=y*2x=4

= =1

27. Определение дифференцируемости функции. Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке ( , ) , если ее полное приращение можно представить в виде:

= ( ) , где

бесконечно малая при

- расстояние от (x,y) до ( )

Если функция z=f(x,y) дифференцируема в ( ), то она непрерывна в этой точке.

Док-во: необходимо проверить, что

= = + + =0

28. Определение дифференциала функции. Полный дифференциал дифференцируемой функции z=f(x,y) представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращения аргументов

dz= , dx=

z= d

Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке ( , ) , если ее полное приращение можно представить в виде:

= ( ) , где

бесконечно малая при

- расстояние от (x,y) до ( )

Пример: z= -?