31. Разложение в ряды Маклорена основных элементарных функций.

Процесс разложения бесконечно дифференцируемой в т. функции в ряд Тейлора (частный случай, разложение функции в ряд Маклорена при ) проходит в три этапа:

1) для функции записывается ряд Тейлора;

2) определяется интервал сходимости ряда;

3) осуществляется проверка того, что для записанного ряда есть сумма этого ряда.

•  Экспонента:

• Натуральный логарифм:

 для всех 

• Биномиальное разложение:

 для всех   и всех комплексных   где

В частности:

• Квадратный корень:

 для всех 

 для всех 

• Конечный геометрический ряд:

 для всех 

• Тригонометрические функции:

 для всех   где   — Числа Бернулли

 для всех   где   — Числа Бернулли

 для всех 

 для всех 

32.Тригонометрическая система функций.

Тригонометрической системой называется система

1, cos x , sin x ,…, cos 2x, sin 2x,…,cos nx, sin nx,…

Тригонометрическая система периодическая с периудом 2 .

Интеграл по отрезку [- от произведения двух различных функций системы равен 0.

1)

2)

5.

Интеграл по отрезку [- от квадрата любой функции системы отличен от 0.

33.Тригонометрические ряды Фурье.

,где -постоянные коэффициенты.т.к. члены ряда имеют общий периуд 2 ,то n сумма ряда,если он содержит 2 переодическая функция.

Если ряд сходится равномерно [- то его коэффициенты определяются формулами: , , .

Тригонометрический ряд коэффициенты которого задаются формулами , , .

Называется рядом Фурье.

Если функция f определена интегрирована на отрезке [- и раскладывается в тригонометрический ряд

Который равномерно сходится на [- то это разложение единственное.

34.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Ряд Фурье для чётных функций:

, , .

Ряд Фурье для нечётных функций:

, , .

Если функция f(x) определена на интервале (0; то продолжит её на промежуток (- чётным или нечётным образом можно разложить ее в ряд Фурье только по cos или sin

Sin-нечётная cos-чётная

35.Ряд Фурье для функций, заданных на отрезке [-l;l].

, , .

Для чётной

Для нечётной

36. Интеграл Фурье.

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.

Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости на 

(т.е. интеграл сходится)

2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

 

, где

.

37. Косинус- и синус-преобразование Фурье.

Интегралы

.

называются соответственно косинус- и синус-преобразованиями Фурье. Из формул (2) и (3) непосредственно следует, что если к кусочно-гладкой функции   применить последовательно два раза косинус- (или синус-) преобразование Фурье, то получим исходную функцию  . В этом смысле косинус- (синус-) преобразование Фурье является обратным самому себе.

.   (2)

.  (3)