1.3. Твердые растворы

Твердые растворы (ТР) - кристаллические фазы переменного состава, в которых атомы элемента В размещаются в пространственной решетке элемента А, не изменяя ее типа.

Для ТР характерен металлический тип межатомной связи. Твердые растворы обозначают: , , ,  или А(В). Твердые растворы всегда более тверды, чем чистые металлы, менее пластичны. Их образование всегда сопровождается увеличением электрического сопротивления, как правило, снижаются пластичность и вязкость. Твердые растворы бывают упорядоченными и неупорядоченными. Твердые растворы, устойчивые при сравнительно низких температурах, получили название упорядоченных твердых растворов, или сверхструктур. Полностью упорядоченные растворы образуются в том случае, когда отношение компонентов в сплаве равно целому числу: 1:1, 1:2, 1:3 и т.д. Они занимают промежуточное положение между твердыми растворами и химическими соединениями. При изменении температуры происходит разупорядочение ТР с соответствующим изменением свойств. Температуру разупорядочения _к называют точкой Курнакова. Упорядоченные твердые растворы обозначают буквами ’, ’, ’, ’. Все металлы могут в той или иной степени взаимно растворяться друг в друге в твердом состоянии. В тех случаях, когда компоненты могут замещать друг друга в кристаллических решетках в любых количественных соотношениях, образуется непрерывный ряд твердых растворов. Твердые растворы замещения с неограниченной растворимостью могут образоваться при соблюдении следующих условий: 1. Компоненты должны обладать одинаковыми по типу (изоморфными) кристаллическими решетками. 2. Различие в атомных размерах компонентов должно быть не значительным и не превышать 8 – 15 %. 3. Компоненты должны принадлежать к одной и той же группе периодической системы элементов или к смежным родственным группам и в связи с этим иметь близкое строение валентной оболочки электронов в атомах.

где  - вектор Лангранжа.

-Составим систему из уравнений

-Если полученная система имеет решение, то есть решение исходной задачи

3. произведение интегрируемых ф-ций.

2)z_1* z₂₌ r₁r₂(cos φ₁+ isin φ₁  )( cos φ₂ + i sin φ₂)= r₁r₂(cos φ₁ cos φ₂ +i cos φ₁ sin φ₂+ isin r₁r₂cos φ₂ -sin φ₁ sin φ₂)= r₁r₂(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)

Из этой формулы след. формула Муавра: 3)

4. +isin ,k=0,n-1

4.Ф-ции P и Q удовлетв. условию Эйлера

Замечание.При нахождении ф-ции F за основу можно брать рав-во ,котор. сначало интегрир. по перемен. y,а затем дифференц. по перем. x.

1.3. Твердые растворы

Твердые растворы (ТР) - кристаллические фазы переменного состава, в которых атомы элемента В размещаются в пространственной решетке элемента А, не изменяя ее типа.

Для ТР характерен металлический тип межатомной связи. Твердые растворы обозначают: , , ,  или А(В). Твердые растворы всегда более тверды, чем чистые металлы, менее пластичны. Их образование всегда сопровождается увеличением электрического сопротивления, как правило, снижаются пластичность и вязкость. Твердые растворы бывают упорядоченными и неупорядоченными. Твердые растворы, устойчивые при сравнительно низких температурах, получили название упорядоченных твердых растворов, или сверхструктур. Полностью упорядоченные растворы образуются в том случае, когда отношение компонентов в сплаве равно целому числу: 1:1, 1:2, 1:3 и т.д. Они занимают промежуточное положение между твердыми растворами и химическими соединениями. При изменении температуры происходит разупорядочение ТР с соответствующим изменением свойств. Температуру разупорядочения _к называют точкой Курнакова. Упорядоченные твердые растворы обозначают буквами ’, ’, ’, ’. Все металлы могут в той или иной степени взаимно растворяться друг в друге в твердом состоянии. В тех случаях, когда компоненты могут замещать друг друга в кристаллических решетках в любых количественных соотношениях, образуется непрерывный ряд твердых растворов. Твердые растворы замещения с неограниченной растворимостью могут образоваться при соблюдении следующих условий: 1. Компоненты должны обладать одинаковыми по типу (изоморфными) кристаллическими решетками. 2. Различие в атомных размерах компонентов должно быть не значительным и не превышать 8 – 15 %. 3. Компоненты должны принадлежать к одной и той же группе периодической системы элементов или к смежным родственным группам и в связи с этим иметь близкое строение валентной оболочки электронов в атомах.

25.Линейное пространство: определение и примеры. Определение1.Мн-во V с определ-ми на нем операц. сложен. вект. и умнож. вект. на число назыв.веществ.вектор.(линейн) простр-ом,если указанные операц. облад след св-ами: 1.x+y=y+x(коммуникативность) 2.x+(y+z)=(x+y)+z(ассоциативность) 3.сущ. нулевой элем. мн-ва V,обознач. 0,такой что 0+x=x, 0,х 4.для сущ. противопол элем -х ,такой что х+-х=0 5. , x 6. , x 7. , x,y 8.1*x=x x

Примеры: 1.Если V есть мн-во своб вект.|R³ c обычным пониманием опер слож вект. и умнож.вект. на число. 2.мн-во -мн-во матриц размера m , в кот. сложение вект и умнож вект на число понимаются всмысле сложен матриц и умножение матрицы на число. 3.мн-во [x]-мн-во многочленов с действит коэффиц степени .Операции слож вект и умнож вектора на число поним. в обычном смысле слож многочлена и умнож многочленов на число. Замечание. комплексное вект. Пространство опред. так же,как и веществ. вект. пр=во,если только в опред.1 мн-во заменить на мн-во C.

26.Линейная зависимость и независимость векторов в линейном пространстве. Определение1.Сис-ма векторов a_1…a_n(или векторы)назыв. линейно-независ.,если их лин. комбин. а=0 только в том случае, если все , в противном случаи данная сист. век-ов (векторы)назыв. лин-зависимыми. Другими словами векторы a_1…a_n лин-зависимы,если сущ. числа , одновремнно не равные нулю такие,что линейн комбин. Утверждение 1.Если в сик. вект-ов a_1…a_n имеется нулевой вектор,то система векторов лин-зависимы. Док-во.Пусть а₁=0.Составим a= a₁+ a₂+….+ a_n,где -любое число, … =0,a=0. Утверждение2.Если некот. из век-ов в сист. a_1…a_n явл. лин-зависимыми,то и вся система вект. лин-зависима. Утверждение 3.Векторы a_1…a_n лин-зависимы тогда,когда хотя бы один из них выражается через остальные. Док-во.Пусть для определ-сти вект а₁ выражается через остальные,т.е.а₁= a₂+… a_n. Положим ,тогда лин. комбин. a₁+ a₂+….+ a_n=0(1),т.е. вект лин-зависимы. Пусть теперь векторы a_1…a_n лин-зависимы,тогда имеет место (2) причем (2)не все равны 0.предположим для определ.,что ,тогда из (2) …- , т.е. вектор а₁ выражается через остальные векторы сис-мы .

27.Базис и размерность линейных пространств. Координаты вектора. Рассм. вект. пр-во V. Определение.Сис-ма вект. векторного пр-ва V назыв базисом,если она лин-независ. и каждый вектор пр-ва V выраж. через неё.Лин. пр-во V,имеющее базис,сотоящий из конечного числа элементов назыв конечномерным.Число элементов входящих в базис назыв размерностью пр-ва V. Пусть в пр-ве V задан базис (e₁…e_n),т.е. пр-во V явл конечномерным.Его размерность будем обозначать dim,т.е.dimV=n,далее будем обозн. V_n. Утверждение1.В пр-ве V_n любая линейно-независ сис-ма nвекторов явл. базисом. x = 1e1 + … + nen. (1) Выражение (1) называется разложением вектора x по базису e1, … , en . Если обозначим базис E=(e₁…e_n),ввести вектор (координаты столбец вектора х),то рав-во (1) можно записать в виде x=E . Замечание.Обратим внимание,что базисные векторы упорядоченные.Если измен. порядок следования векторов в базисе,то получим новый базис. Теорема1.Координаты вектора в заданном базисе определ одназначно.Другое разложение вектора по базису единственное. Теорема2.Два век-ра в пр-ве V_n равны тогда,когда равны их соответствуюшие координаты.

28.Преобразование координат. Пусть в Vn задано 2 вектора(базиса) F= )и F′=( )и пусть вектор Х Vn в базисе Е имеет координаты α= (т.е. вектор-столбец координат), и в базисе имеет координаты α′= Здесь индексы и указывают на базисы, взятые в соответствии с координатами. Установим связь между α и α′. Сначала элементы в разложим по базису Е: = )( ) ………………………………………………………………. (1) = )( ) Если ввести матрицу А= ,то (1) можно заменить Е′=ЕА (2) Матрица А называется матрицей перехода от базиса Е к Е′. Обратим внимание, что каждый k-ый столбец матрицы А представляет собой координаты вектора в базисе Е. А поскольку базисные вектора линейно независимые, то и столбцы А линейно независимы, т.е. матрица А невырожденная.

Построим вектор Х ,с использ. координат его можно записать: Х=Еα-Е′α′

Это равенство в силу А перепишем в виде Еα=ЕАα′=>Е(α-Аα)′, отсюда α=Аα′(3) Формула (3) выражает зависимость между координатами вектора Х в базисе Е и Е′, т.е. зная координаты базиса Е в Е′ по формуле(3) можно найти координаты вектора, верно и обратное, т.к. из (3) следует:

Α=

.

31.Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Подобные матрицы Пусть V – линейное пространство, заданное двумя базисами е= ) и е′=( ). Пусть S матрица перехода от базиса к базису e’, т.е. Е′=SE (1) Пусть f – линейный оператор, действующий в пр-ве Vn, матрица которого в базисе Е обозначена через А, а в базисе Е′ через В. Возьмем х Vn и положим у=f(x). Векторы х и у разложим по базисам Е и Е′: x=EX=E′X′ y=EY=E′Y′ (2) Используемые матрицы А и В запишем :У=АХ, У′=ВХ′, SY=BSX , SAX=BSX – это равенство справедливо для любого вектора х, поэтому S′A=BS, A= BJ(или B=SA )(3). (3) устанавливает связь между матрицами 1-ого и также лин. оператора в разных базисах. Определение: матрицы А и В называются подобными, если существует невырожденная матрица S , что A= BS, В= AS При этом матрица S называется трансформирующей. Ра-ва A= BJ называется преобразованием подобия или преобразованием матрицы. Свойства: 1)Если А~В, В~С, то А~С, А= BS, B= С => A= C = C S= S 2)определители и ранги подобных матриц равны

32.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора Определение: Если для некоторого Х Vn, x не равен 0 существует λ такое, что f(x) = λx, то вектор х называется собственным, а число λ собственным значением оператора f, соответствующее собственному вектору х. Множество всех собственных значений f называется спектром оператора f. Если = => =0 => т.к. х не равен 0=> = Замечание: Одному и тому же собственному значению может соответствовать множество собственных векторов, линейно зависимых между собой. Определение: Пусть А – произвольная матрица, λ – некоторое число, J – единичная матрица. Матрица А-λJ называется хар-ой матрицей по отношению к А. Определитель этой матрицы det(A-λJ) называется хар-м многочленом матрицы А

Тогда det(A-λJ)= =φ(λ) Если раскрыть этот определитель, то можно увидеть, что φ(λ) будет представлять собой многочлен степени n – ровно столько корней он имеет. Замечание: многочлен степени n может иметь действ. Корней меньше, чем n. Итак, для нахождения собственных значений и собственных векторов решение уравнения (λ)=0. Пусть – корни этого уравнения. Если пространство Vn является вещественным линейным пространством, то из найденных чисел

ост. Только действительные числа. В случае камп-ого линейного пространства берем все

Числа являются собственными значениями оператораf(A). Для каждого собственного значения , ему соответствующие. Для этого решаем СЛАУ: (А- J)X=0 (1)

В общем случае она может иметь бесконечно много решений

Замечание: Пусть имеем многочлен P(λ). Под кратностью к корня уравнения P(λ)=0 понимают кол-во раз сколько он встречается в наборе тех корней многочлена P(λ).

Если корень мн-ва P(λ) кратности к, то P(λ)=0 Р(к)=0 (λк)=0

Кроме того P(λ) пред. В виде P(λ)= φλ, где φλ – многочлен степени degP( -λ)

33.Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду Теорема 1. Линейный оператор A в Rⁿ приводится к диагональному виду тогда и только тогда, тогда его собственные векторы образуют базис в Rⁿ. Доказательство. Необходимость(. Пусть в базисе   матрица оператора A диагональная:

А=

Тогда   ,   ,….,  , т.е. базис   состоит из собственных векторов, отвечающих собственным значениям  . Достаточность . Пусть   базис из собственных векторов, отвечающих собственным значениям  . Тогда  ,…., ,  и

А=

 Укажем достаточное условие приводимости оператора к диагональному виду.

Теорема 2. Если линейный оператор   в   имеет   различных собственных значений, то собственные векторы, отвечающие им, образуют базис в  , а матрица оператора в этом базисе диагональная.

Доказательство для  . Пусть  - собственные значения, а   -собственные векторы оператора   в   . Покажем, что эти векторы линейны независимы. Пусть       и   

Отсюда

          

Значит,  . Аналогично,  . Теорема доказана.

29.Линейные отображения. Линейные операторы Пусть v и векторные пространства, отображение f: v→ называется линейным, если: 1) , для всех х, у  Vи α R. Таким образом линейные преобразования сохраняют линейные операции. Обратим внимание, что в соответствии (х+у), α(х) используются операции сложения и умножения определены в пространстве V, а f(x) + f(x), αf(x) определены в пространстве V′. V и V′ в общем случае могут отличаться Свойства линейных преобразований: 1)Если f :v→ линейное преобразование, и векторы( … ) линейно зависимы в пространстве V , то линейно зависимы вектора f( ), f( ) Примеры: преобразование i: V→V′, i(x) 1)f(x)=Ax , где Ax – матрица размера m*n 2)Преобразование f:R→ и действия по правилу F(x)=f( + )= a+ib не принадлежит С Примеры лин.оператора: 1)В прос-ве 2)Умножение матрицы-столбца(строки) на квадратную матрицу 3)В пространстве свобод.векторов поворот вектора на заданный угол

30.Матрица линейного оператора Пусть Vn векторные пространства, f – лин. Оператор,Е= ) – базис в Vn. Раз f:Vn в себя, то элементы f( ) , f( ) будут элементами пр-ва Vn , а значит их можно разложить по базису Е

f( )= )

………………………………………………….. (1)

g( )= ) Составим матрицу А= Обозначим f(E)=f( …f( Тогда (1) можно записать в виде:f(E)=EA. Матрица А называется матрицей линейного оператора f в базисе Е. Заметим, что матрица А зависит от базиса. Итак, показали, что каждому лин. оператору соответствует в заданном базисе матрица, верно и обратное. Обратим внимание, что каждый k-ый столбец матрицы А представляет собой координаты элемента f( ). Возьмем Х Vn и положим у=f(х). Пусть Х, У координаты столбца-вектора х и у в базисе Е, тогда ЕУ=f(x)=f(EX)=f(E)X=EAX Из этого равенства на основании того, что базисные векторы линейно независимы,

оординатный столбец, т.е. любой лин. оператор можно определить соотношением (2)

34.Евклидово пространство. Ортогональный и ортонормированный базисы ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО - конечномерное векторное пространство с положительно определённым скалярным произведением. Является непосредств. обобщением обычного трёхмерного пространства. В Е. п. существуют декартовы координаты, в к-рых скалярное произведение (ху)векторов х- (x₁, . . . , х_n)и y = (y₁, . . . , y_п)имеет вид (xy)=x₁y₁+. . .+х_nу_п. В произвольных координатах скалярное произведение по определению удовлетворяет условиям: 1) (хх)/0, (хх) = 0 лишь при x=0; 2) (ху) = (ух)*; 3) (aху) = a(ху); 4) (x{y+z}) =(xy)+ (xz), где a - любое комплексное число, * означает комплексное сопряжение. Базис e₁, e₂,  … , e_n в n –мерном евклидовом пространстве E_n называется ортогональным, если (e_i, e_j) = 0    i ≠ j , т.е. все векторы попарно ортогональны. Ортогональный базис из единичных векторов называется ортонормированным. Теорема. В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Доказательство (метод ортогонализации Грама–Шмидта). Пусть f₁, f₂,  … , f_n — произвольный базис в E_n . Построим ортогональный базис e₁, e₂,  … , e_n следующим образом. Положим e₁ = f₁ , e₂ = f₂ + αe₁ . Найдем α из условия ортогональности: (e₁, e₂) = 0    (f₂, e₁) + α (e₁, e₁) = 0.

Отсюда

α = −   (f2, e1) (e1, e1)  .

Предположим теперь, что уже построена ортогональная система из k − 1 ненулевого вектора — e₁, e₂,  … , e_{k − 1} . Тогда вектор e_k ищем в виде

ek = fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1.

(1)

Из условий ортогональности вектора e_k и векторов e₁, e₂,  … , e_{k − 1}

(fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1, e1) = 0,

(fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1, e2) = 0,

… … … … … … … … … … … … …  ,

(fk + α1 e1 + α2 e2 + … + αk − 1 ek − 1, ek − 1) = 0

получаем

(fk, e1) + α1 (e1, e1) = 0,

(fk, e2) + α2 (e2, e2) = 0,

… … … … … … …  ,

(fk, ek − 1) + αk − 1 (ek − 1, ek − 1) = 0.

Отсюда

α1 = −   (fk, e1) (e1, e1)  ,  α2 = −   (fk, e2) (e2, e2)  ,   … ,  αk − 1 = −   (fk, ek − 1) (ek − 1, ek − 1)  .

35.Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. Пусть L есть векторное пространство над полем K и   — базис в L. Функция   называется квадратичной формой, если её можно представить в виде где  , а   — некоторые элементы поля K. Свойства:---Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.---Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.---Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа Из коэффициентов квадратичной формы составим симметричную матрицу А=

которую назовем матрицей квадратичной формы.

36.Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду

Метод Лагранжа - это просто метод выделения полных квадратов. Например: (собираем все слагаемые с  ) (обозначаем  ) . Если на каком-то шаге нет квадрата очередной переменной, но есть смешанное произведение, то надо сделать замену типа  ,  , чтобы квадрат появился.