13. Производная и дифференциал высшего порядка.

Пусть задана ф-ция у=f(х). Она дифференцируемая на всей области определения D(y). Известно, что в рез-те дифференцирования ф-ции вновь получаем ф-цию, от кот-ой можно вычислить производную 2го порядка. y’’(х)=(у’(х))’

Получив 2ую производную, замечаем, что она – ф-ция =>её вновь можно продифференцировать.

Получаем производную 3его порядка: у’’’(х)=(у’’(х))’.

Производная n-порядка – производная от производной порядка n-1.

Производная n-порядка вычисляется последовательным дифференцированием исходной ф-ции.

Замечание: Если ф-ция задана параметрически, то производная высших порядков вычисляется :

x=(t), y=(t), t€(α;β) то , = , = .

Дифференциал 2ого порядка ф-ции у=f(х) – диф-л от диф-ала 1ого порядка этой ф-ции.

у=f(х), dу=f’(x)dx, y=d(dy) – 2го порядка, d(dy)=d(f’(x)dx)= (х)dx+ f’(x)( , y= (х)(

Диф-л n-порядка – диф-л от диф-ала порядка n-1 данной ф-ции. y=d( y)

Диф-л n-порядка находится путём последовательного вычисления.

Приближённые формулы: Если x<<1, то ≈ ; ≈1+x ; ≈1 ; ln )≈ ; sinx≈x; cosx≈1 -

14. Экономический смысл производной и понятие эластичности.

Пусть задана ф-ция u=u(t), она – объём произведённой прод-ции за промежуток времени t. Тогда u’ в момент времени (u’( ) )– производительность труда в .

Пусть задана ф-ция у=f(х) – издержки произв-ва при при произв-ве х-единиц прод-ции. Тогда f’( ) – предельные издержки произв-ва. Она характеризует приближённо доп. затраты на произв-во единицы доп. прод-ции. Аналогично определяются предельные (маржинальные) величины: предельная выручка, доход, полезность..)

Предельные величины характеризуют не состояние (как средняя величина), а процесс изменения экономич. объекта.

Т.о., производная – скорость изменения нек-ого эк. процесса во времени или относительно другого исследуемого фактора.

Применение предельных издержек: определение оптимального для производителя выпуска прод-ции при её цене.

Пусть есть произв-во, на кот-ом при произв-ве х-единиц прод-ции, издержки составляют у=f(х). Если увеличить выпуск прод-ции на ∆х единиц, то издержки возрастут на ∆у денежных единиц. Стоимость реализуемой прод-ции по цене Р составит Р*∆х денежных единиц.

Т.о., получаем , что увеличивать произв-во прод-ции экономически оправдано, при условии, что ∆у≤Р*∆х. Аналогично снижая выпуск прод-ции на ∆х, имеет смысл, когда снижение издержек ∆у не менее, чем снижение стоимости Р*∆х: ∆у≥Р*∆х. Этим нерав-ам одновременно удовлетворяет значение Р= . Если ∆х – мало по сравнению с х, а теоретически при ∆х→0 имеем, что =f'(х)=Р. Оптимальный для производителя выпуск прод-ции такой, при кот-ом предельные издержки = её цене.

Соотношение между средним и предельным доходами.

Предельные величины – М, средние – А. Пусть р – цена прод-ции, q – кол-во. Тогда суммарный доход, получаемый от реализации прод-ции: r=pq. В условиях монополии 1ой или неск. Фирм контролируется цена на выпуск прод-ции. Если кривая спроса определяется лин. ур-нием: p=aq+b (a<0, b>0), то суммарный доход : r= (aq+b)q=a +bq.

Средний доход на единицу прод-ции: = =aq+b. Предельный доход: =2aq+b → В условиях моноп. рынка с ростом кол-ва реализованной прод-ции предельный доход снижается(а<0), а это приводит к уменьшению среднего дохода. В условиях совершенной конкуренции продажа идёт по установл. Цене: p=b

Суммарный доход: r=pq=bq. Средний доход: = = =b. Предельный доход: =(bq)’=b. → В условиях свободного конкурентного рынка средние и предельные доходы совпадают.

Эластичность ф-ции (у) – предел отношения относительного приращения ф-ции у к относит. приращению х. (у)= = . Эластичность ф-ции показывает на сколько % изменится ф-ция у=f(х) при изменении независимой переменной на 1%.

Свойства эластичности:

* (у)=xTy, если Ty=(lny)’=

* (uv)= (u)+ (v)

* ( )= (u)- (v)

* (у)=

Пусть у=f(х) – зависимость спроса у от цены х , тогда эластичность спроса (у) показывает приближённо на ск.% изменится в среднем спрос при изменении цены на 1%.

*Если >1, то спрос – эластичный

*Если ≤1, то спрос – неэластичный

*Если =1, то спрос с единичной эластичностью.