1.3. Операции над множествами.

Выше были рассмотрены некоторые операции сравнения множеств.

При обозначении операций над множествами используются две логические операции:

•  (конъюнкция) - логическое высказывание, которое получается путем объединения двух простых утверждений союзом «и».

•  (дизъюнкция) - логическое высказывание, которое получается путем объединения двух простых утверждений союзом «или».

Объединением множеств А и В (обозначение — А  В) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В. Символически это можно записать так:

А  В = {х | х  А  х  В}.

Аналогично определяется объединение произвольной (в том числе бесконечной) системы множеств. Если система содержит небольшое количество множеств, то их объединение описывается явно: А  В  С  D и т.д. В общем случае используется обозначение , которое читается так: «объединение всех множеств А, принадлежащих системе S». Если же все множества системы занумерованы индексами, то используются другие варианты обозначений: (для случая, когда S={А₁, А₂, .... А_к}), (для случая, когда S — бесконечная система и ее множества занумерованы подряд натуральными числами), (для случая, когда совокупность индексов множеств задана множеством I).

Пересечением множеств А и В (обозначение А  В } называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В:

A  B = { х  х  A  х  В}.

Аналогично определяется пересечение произвольной (в том числе бесконечной) системы множеств. Обозначения для пересечения системы множеств аналогичны приведенным выше обозначениям для объединения.

Разностью множеств А и В (обозначение А \ В) называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В:

А \ В = { х  х  A  х  В }.

В отличие от двух предыдущих операций разность, во-первых, строго двухместна (т. е. определена только для двух множеств), а во-вторых, некоммутативна: А \ В  В \ А. Если А \ В = , то А  В.

Иногда в задачах рассматривают симметрическую разность двух множеств, определяемую следующим образом:

АB: =(AВ)\(АВ) = {х | (x  A  x  В)  (x  А  x  В)};

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого «универсального» множества U, то может быть определена операция дополнения. Дополнением множества А (обозначениеА) называется множество всех элементов, не принадлежащих А (но принадлежащих U):А = U \ А. Множество U должно быть либо задано, либо очевидно из контекста, в противном случае проще пользоваться выражением U \ А.

Операции объединения, пересечения и дополнения часто называют булевыми операциями над множествами.

Н а рисунке приведены диаграммы Эйлера, иллюстрирующие операции над множествами.

Сами исходные множества изображаются фигурами (в данном случае овалами), а результат графически выделяется (в данном случае для выделения использована штриховка).

«Диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства. Диаграммы Эйлера (круги Эйлера) аналогичны диаграммам Венна, но не обязательно иллюстрируют все возможные отношения между множествами или событиями. Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Универсум изображается прямоугольником, а множества – кругами.