3.Эксцентриситет эллипса
Рассмотрим эллипс с фокусами в точках F1 и F2 , большой полуосью которого является [A1A2].
Определение.
Эксцентриситетом
эллипса называется число, равное
.
Так как
,
то ε > 0.
Для окружности
=> ε = 0.
Пусть эллипс задан уравнением
,
тогда
=> =>
=>
.
=> Эксцентриситет определяется
отношением полуосей эллипса.
Рис.3.
При ε = 0
получаем
,
что указывает на то, что в этом случае
эллипс является окружностью. При
стремлении ε
к единице отношение полуосей
становится меньше и стремится к нулю.
Зафиксируем значение
большой полуоси эллипса и пусть ε
→ 0. Изменение формы эллипса, в этом
случае показано на Рис.3.
ВЫВОД. Эксцентриситет характеризует степень вытянутости эллипса вдоль большой оси.
4.Параметрические уравнения эллипса
Построим на плоскости две окружности с центрами в начале координат и радиусами и . Проведём луч из начала координат, и пусть он пересечёт первую окружность в точке N1, а вторую ─ в точке N2. (Рис.4.)
Рис.4.
Через точку N1 Проведём
прямую ℓ1|| (Оу), а через точку N2
─ прямую ℓ2|| (Ох). Пусть М(х;у)
= ℓ1 ∩ ℓ2 . Обозначим через
α =
А1ОN1,
тогда
(6)
Разделив первое равенство системы (6) на , а второе на , после возведения полученных равенств в квадрат и сложения их получаем:
=> Точка М(х;у) принадлежит эллипсу.
Соотношения (6) называют параметрическими уравнениями эллипса.
5.Построение точек эллипса
Рис.5.
Построить эллипс с полуосями и можно на основании параметрических уравнений эллипса. Этапы построения следующие:
а) Строим две соосные окружности с радиусами и .
б) Проводим произвольный луч с началом в центре окружностей.
в) Точки эллипса М получаем как точки пересечения прямой параллельной оси (Ох) и проходящей через точку пересечения луча с окружностью радиуса с прямой, параллельной оси (Оу) и проходящей через точку пересечения луча с окружностью радиуса . (См. Рис.5).
Лекция №2
§2 Гипербола
1. Определение гиперболы и её уравнение
Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная, равная 2a < ǀF1F2ǀ=2c.
Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы, а │F1F2│= 2с ─ фокальным расстоянием.
Пусть на плоскости даны две точки F1
и F2. Для того чтобы
составить уравнение гиперболы на
плоскости введём ортонормированную
систему координат, начало которой
поместим с середину отрезка [F1F2].
M
Рис.6.
Ось Ох расположим таким образом чтобы точки F1 и F2 принадлежали этой оси. (Рис.6)
В этом случае фокусы гиперболы принимают следующие координаты F1(c;0) и F2(-c;0). Пусть М(х;у) ─ произвольная точка эллипса. Тогда по определению││МF1│- │МF2││ = 2a. (1)
По формуле вычисления расстояния между точками имеем: ; . Таким образом из (1) =>
.
Запишем полученное выражение в виде
и возведём в квадрат. В результате,
после приведения подобных получаем
.
Для того чтобы освободиться от корня
возведём последнее выражение в квадрат.
В результате после элементарных
преобразований имеем:
.
(2)
Учитывая,
что
и
,
обозначим
|
и запишем (2) виде:
.
После деления полученного уравнения
на
получаем, что если точка М(х;у)
принадлежит гиперболе, то её координаты
удовлетворяют уравнению
|
(4)
Покажем теперь, что если координаты некоторой точки М1(х1;у1) удовлетворяют уравнению (4), то точка М1 принадлежит гиперболе.
Пусть для точки М1(х1;у1)
справедливо равенство
(5)
Из (5) следует:
(6)
Вычислим
=>
.
Аналогично, если провести подобные
преобразования для
,
получим
.
Заметим, что из (6) следует, что
.
Рассмотрим случай, когда x
> 0. В этом случае
и, так как
,то
и
.
=>
,
то есть точка М1 принадлежит
гиперболе.
Пусть теперь х < 0. В этом случае
,
откуда следует, что
и
.
Таким образом,
и
.
В результате получаем, что точка М1
принадлежит гиперболе
, так как
.
Таким образом, уравнение (6) является уравнением гиперболы, которое называется каноническим уравнением гиперболы.
[MF1] ─ называется
первым фокальным радиусом гиперболы;
.
[MF2] ─ называется
вторым фокальным радиусом гиперболы;
.
Заметим,
=>
такая гипербола называется равнобочной.