70. Градиент. Свойства градиента.

Градиентом ф-ии Z=f(x;y), в точке М (x₀, y₀), называется вектор координаты которого = соответствующим частным производным функции f в т. М

Grad f (M) = (f ^!_x(M); f ^!_y(M))

Следствие:

Своиства градиента: 1. Производная по направлению имеет МАХ значение в направлении совпадающем с градиентом.1.)Производная в направлении ⊥ градиенту равно 0. 2.)Градиент ⊥ линиям уровня

3.)Свойства градиента

71.Частные производные высших порядков.

Рассматривая 41.я частные производные и как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения

,

называют частными производными второго порядка функции по и по соответственно, а выражения

,

1. смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , , и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=2³ ), 4-го порядка (их будет 16=2⁴ ) и т. д.

72. Теорема о равенстве смешанных производных

Если производные f ”_xy (x,y) и f ”_yx (x,y) существуют в некоторой окрестности точки М(х₀, у₀) и непрерывны в самой точке М, то имеет место равенство

f ”_xy (М)= f ”_yx (M)

73. Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в формуле Лагранжа.

74. Локальные экстремумы функций нескольких переменных.

Точка а^→ называется точкой локального максимума/минимума функции у =f(х^→), если существует такая ε —окрестность U_ε(а^→) = {х € Rⁿ: \х^→ — а^→\ < ε) точки а, в которой для любой точки х € U_ε(а), выполняется неравенство что в любой точке Xэтой

окрестности выполняется неравенство:

f(x^→) >= f(a^→)/ f(x^→) <=f(а^→)

75. Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.

1 .Для того, чтобы дифференцируемая функция f(х^→) имела локальный экстремум в точке

а^→, необходимо, чтобы все её частные производные первого порядка в этой точке были равны нулю.

2.Пусть функция f(х^→) имеет в окрестности точки своего локального экстремума а^→ непрерывные частные производные второго порядка. Тогда:

-если а^→ - точка локального минимума, то d²f_a→- неотрицательно определённая квадратичная форма

если а^→ - точка локального максимума, то d²f_a→- неположительно определённая квадратичная форма

76. Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.

Пусть в некоторой окрестности стационарной точки M₀ (x₁,…x_n) определены частные

производные второго порядка функции f(x₁, ..., x_n), которые являются непрерывными в точке М₀. Если в этой точке второй дифференциал d²f(M₀) является знакоопределенной квадратичной формой от dx₁, ..., dx_m, то в точке М₀ функция имеет локальный экстремум (локальный максимум, если d²f(M0) отрицательно определена, и локальный минимум, если d²f(M₀) положительно определена), если же d²f(M₀) знакопеременна, то в точке М₀ экстремума нет.

77. Условный экстремум.

Пусть у= f(X)функция с областью определения D(f) и пусть S- подмножество в D(f) (т.е. является частью в D(f). Точка A принадлежит S называется точкой условного минимума функции f если существует такая окрестность точки А, что для любой точки В, лежащей одновременно и в этой окрестности точки А и множестве S, верно неравенство f(A) <=f(B).

Аналогично точка А принадлежит S называется точкой условного максимума функции f если существует такая окрестность точки А, что для любой точки В, лежащей в этой окрестности и в S, верно неравенство f(A) >=f(B).

Общее название для условных минимумов и максимумов — условные экстремумы.