4.Формула Маклорена.

формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу.

где

здесь   — натуральное,   — числа Бернулли,   — достаточно гладкая функция, чтобы иметь производные  ,   — многочлен Бернулли,   — дробная часть x. В случае, когда   мало, получаем хорошее приближение для суммы.

Многочлены Бернулли   определяются рекуррентно как

Выражение   называется периодической функцией Бернулли.

Остаточный член

Остаточный член R может быть легко выражен в терминах  :

или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая, что   дифференцируема еще раз, и вспоминая, что нечетные числа Бернулли равны нулю:

где  . Можно показать, что

где   обозначает дзета-функцию Римана. Равенство достигается для четных n и  . С помощью этого неравенства остаточный член оценивается как

5.Монотонность и экстремумы функции.

Функция называется возрастающей если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а меньшему соответствует меньше.

Функция называется убывающей если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, а меньшему соответствует большее.

Теорема. У возрастающей функции производная больше 0 ( ).

Доказательство:

 

 

Экстремумы функции.

Т очка  -называется точкой max, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности  .

Точка  -называется точкой min, если существует некоторая окрестность точки, что для любой точки x из этой окрестности  .

Необходимый признак экстремума, если   -точка экстремума. 

 

Если    и  , то это точка экстремума.

Если   - точка экстремума и существует  , то производная  =0. Точка, в которой производная, равна нулю, называется критической точкой.

 , теорема Логранжа. 

Первый достаточный признак экстремума.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”+” на “-“,то в этой точке максимум.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с ”-” на “+“,то в этой точке минимум.

 

Второй достаточный признак экстремума.

Если в критической точке 2-ая производная больше нуля, то это точка минимума, а если в критической точке 2-ая производная меньше нуля, то это точка максимума.

Пример:

   

6.Промежутки выпуклости.7.Точка перегиба.

График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (или вверх) на промежутке (a; b), если на этом промежутке график функции располагается ниже (или выше, соответственно) касательных, проведенных в любой точке этого промежутка (a; b). За исключением самой точки касания. А точки, в которых меняется направление выпуклости, называются точками перегиба. Если на промежутке (a; b) функция y=f(x) дважды дифференцируемая, то в случае f”(x)>0 график функции выпуклый вниз, а если f”(x)<0, то он выпуклый вверх.И, соответственно, точки, в которых знак второй производной меняется с плюса на минус, и будут точками перегиба.

Определение 1. Функция   называется выпуклой вверх (вниз) в точке  , если ее график в некоторой окрестности точки   лежит ниже (выше) касательной, проведенной к графику функции   в точке с абсциссой, равной  .

Определение 2. Если в любой точке   множества  , функция выпукла вверх (вниз), то такую функцию называют выпуклой вверх (вниз) на промежутке  .

Определение 3. Второй производной функции   называется функция, являющаяся производной от производной функции  .

Теорема. Если функция   имеет положительную (отрицательную) вторую производную в каждой точке промежутка  , то   выпукла вниз (вверх) на этом  промежутке.

Точка перегиба функции   внутренняя точка   области определения  , такая что   непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и   является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.