50 Корреляционная функция случайного процесса и ее свойства. Нормированная корреляционная функция.
Корреляционной
функцией случайного
процесса X(t)
называется неслучайная функция
,
которая при каждой паре значений
равна корреляционному моменту
соответствующих сечений случайного
процесса:
,
где
,
.
Связь (см. рис. 6.4) между сечениями случайного процесса X(t) больше, чем между сечениями случайного процесса Y(t), т.е.
.
Из определения следует, что если задана двумерная плотность вероятности случайного процесса X(t), то
,
(6.8)
или
.
(6.9)
Корреляционная
функция представляет собой совокупность
корреляционных моментов двух случайных
величин
в моменты
,
причем оба момента рассматриваются в
любом сочетании всех текущих возможных
значений аргумента t
случайного процесса. Таким образом,
корреляционная функция характеризует
статистическую связь между мгновенными
значениями в различные моменты времени.
Свойства корреляционной функции.
1) Если
,
то
.
Следовательно, дисперсия случайного
процесса является частным случаем
корреляционной функции.
2) Корреляционная
функция симметрична относительно своих
аргументов, т.е.
.
3) Чем больше интервал между , тем корреляционная функция меньше.
4) Геометрически корреляционная функция представляет собой поверхность (рис.6.5).
Рисунок 6.5 – График корреляционной функции для часто встречающихся случайных процессов
Во многих случаях
особенно при сравнении различных
случайных процессов вместо корреляционной
функции
рассматривают нормированную корреляционную
функцию
,
которая определяется как отношение
корреляционной функции к произведению
функций средне квадратичных отклонений,
т.е.
.
Нормированная корреляционная функция , также как и коэффициент корреляции двух случайных величин изменяется от -1 до +1, но не является постоянной, а зависит от аргументов .
51 Определение характеристик случайной функции по опытным данным.
Пусть над случайным процессом X(t) проведено n опытов и получено n реализаций (рис. 6.6).
Рисунок 6.6 – Реализации случайного процесса X(t)
Требуется определить:
оценку математического ожидания
случайного процесса
;
оценку дисперсии случайного процесса
;
оценку корреляционной функции
.
Значения, которые принимают реализации случайного процесса X(t), сведем в таблицу 6.2.
Таблица 6.2
x(t) t |
t1 |
t2 |
… |
tk |
… |
tl |
… |
tm |
x1(t) |
x1(t1) |
x1(t2) |
… |
x1(tk) |
… |
x1(tl) |
… |
x1(tm) |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
xi(t) |
xi(t1) |
xi(t2) |
… |
xi(tk) |
… |
xi(tl) |
… |
xi(tm) |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
xn(t) |
xn(t1) |
xn(t2) |
… |
xn(tk) |
… |
xn(tl) |
… |
xn(tm) |
|
|
|
… |
|
… |
|
… |
|
Оценки математического
ожидания
в сечениях случайного процесса
находятся как средне – арифметические
значения столбцов, т.е.
.
Оценки дисперсии в сечениях случайного процесса находятся как средне – арифметические значения квадратов центрированных значений столбцов, т.е.
.
Оценки корреляционного
момента
в парах сечений определяются как средне
– арифметические значения произведений
центрированных значений столбцов
и
,
т.е.
.
По значениям оценок математического ожидания в сечениях случайного процесса строят график функции математического ожидания случайного процесса (рис.6.3). Для определения степени статистической связи значений случайного процесса между собой и средней величины разброса их по оценкам корреляционного момента составляют таблицу 6.3.
Таблица 6.3
|
t1 |
t2 |
… |
tk |
… |
tl |
… |
tm |
t1 |
|
|
… |
|
… |
|
… |
|
t2 |
|
|
… |
|
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
tk |
|
|
… |
|
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
tl |
|
|
… |
|
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
tm |
|
|
… |
|
… |
|
… |
|
При этом требуемая точность отображения функции математического ожидания и корреляционной функции может достигаться увеличением количества сечений m.