2.Кинематика движения точки по окружности и вращательного движения твердого тела. Угловая скорость. Угловое ускорение. Связь линейной скорости с угловой и тангенциального ускорения с угловым.

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью — это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги.

Положение тела на окружности определяется радиус-вектором , проведенным из центра окружности. Модуль радиус-вектора равен радиусу окружности R (рис. 1).

За время Δt тело, двигаясь из точки А в точку В, совершает перемещение , равное хорде АВ, и проходит путь, равный длине дуги l.

Радиус-вектор поворачивается на угол Δφ. Угол выражают в радианах.

Скорость движения тела по траектории (окружности) направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью. Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени Δt, за который эта дуга пройдена:

Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиус-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью:

В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с).

При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости — величины постоянные: ω = const; υ = const.

Положение тела можно определить, если известен модуль радиус-вектора и угол φ, который он составляет с осью Ox (угловая координата). Если в начальный момент времени t₀ = 0 угловая координата равна φ₀, а в момент времени t она равна φ, то угол поворота Δφ радиуса-вектора за время равен . Тогда из последней формулы можно получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности:

Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени t. Учитывая, что , получаем:

— формула связи между линейной и угловой скоростью.

Промежуток времени Τ, в течение которого тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения:

где N — число оборотов, совершенных телом за время Δt.

За время Δt = Τ тело проходит путь . Следовательно,

Величина ν, обратная периоду, показывающая, сколько оборотов совершает тело за единицу времени, называется частотой вращения: Следовательно,

Вращательное движение — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной.

Угловое ускорение — псевдовекторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения (в сторону при ускоренном вращении и противоположно  — при замедленном).

При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора угловой скорости по времени, то есть

Существует связь между тангенциальным и угловым ускорениями: ,где R — радиус кривизны траектории точки в данный момент времени. Итак, угловое ускорение равно второй производной от угла поворота по времени или первой производной от угловой скорости по времени. Угловое ускорение измеряется в рад/с² .

4.Динамика вращательного движения тел вокруг неподвижной оси: момент силы относительно оси, плечо силы, момент инерции точечного тела и системы тел, основной закон динамики вращательного движения.

Момент силы — векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело. где — сила, действующая на частицу, а — радиус-вектор частицы.

ПЛЕЧО СИЛЫ - кратчайшее расстояние от данной точки (центра) до линии действия силы.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).Единица измерения СИ: кг·м².

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где: m_i — масса i-й точки, r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

где:  — масса малого элемента объёма тела ,  — плотность,  — расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Основная статья: Теорема Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если  — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен где  — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Основной закон динамики вращения:

Момент вращающей силы, приложенной к телу, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение