2. Предел функции при х и его свойства.

Определение 2. Число b называют пределом функции f(x) при х , если f(х)—b есть бесконечно малая функция при х ; пишут 

В частности, из этого определения следует, что  ,      ,где   (х)-бесконечно малая при  х  функция.

Воспользовавшись для бесконечно малой функции f(х) — b определе­нием 1, получим другое определение предела, эквивалентное предыдущему.

 Определение 3. Число b называют пределом функции f(х) при х , если для любого   > 0 существует М > 0 такое, что при всех х > М выполняется неравенство |f(x)-b|< . Короче:

( > 0)(  M > 0) ( х > М) |f(x)-b|<  .

Определение 2 условимся называть определением предела «на языке бес­конечно малых», а определение 3 — «на языке   — М».

Итак, геометрический смысл равенства    состоит в следующем: прямая у=b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х)(при x ).

3. Предел функции при х , при х  .

Наряду с функциями, бесконечно малыми при x , рассматривают и функции, бесконечно малые при  х . Таковыми являются, например, функции f(х) = 1/х, g(х)= —2/х², рассмотренные на луче (— ,0). Ось х является горизонтальной асимптотой графика каждой из этих функций .

Определение 4. Функцию  (х), определенную на некотором луче (— , а], называют бесконечно малой при х , если для любого  >0 существует число М > 0 такое, что при всех х<—М выполняется неравенство | (x)|<  .

Существуют функции, бесконечно малые как при х , так и при х . Таковы обе рассмотренные выше функции 1/х  и  —2/х² (ось х является горизонтальной асимптотой графика обеих функций как в положительном, так и в отрицательном направлении).

Поскольку вместо двух неравенств х > М, х < — М можно написать одно: |x|>M, получаем следующее определение.

Определение 5. Функцию  (х), определенную на объединении двух лучей  (- ,a₁]   [a₂,+  ), называют бесконечно малой при х , если для любого   > 0 существует число М > 0 такое, что для всех х таких, что |х| > М, выполняется неравенство |  (х)|<е.

Для функций, бесконечно малых при x  или при x , справедливы теоремы 1—5 (с соответствующими изменениями в формулировках и доказательствах).

Определение 6. Число b называют пределом функции f(х) при х

(х ), если f(х)—b есть бесконечно малая функция при

х  (х ); пишут  

Определение 6 «на языке бесконечно малых» можно дать в эквивалентной

форме «на языке  :

Определение 7. Число b называют пределом функции f (х) при х , если для любого  >0 существует М>0 такое, что при всех х таких, что |х|>М,выполняется неравенство |f(х)—b|< .

Геометрический смысл равенства   состоит в следующем: прямая  у = b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(х)  (и  в положительном, и в отрицательном направлении).

 Предел функции в точке

 

1. Бесконечно малые функции при х а

Прежде чем сформулировать строгое определение, заметим, что условие

х  описывается неравенством |х| > М; условие же х a описывается неравенством |х — а| <  . Кроме того (это отчетливо видно на рис 43), когда изучают поведение функции при х а, саму точку х = а не принимают во внимание, т. е. считают, что х  а, и потому |х — а| > 0.

Определение 1. Функцию  (х) называют бесконечно малой при х а, если для любого   > 0 существует   > 0 такое, что при всех х из неравенства 0 < |х — а| <  следует неравенство |  (х)|<  . Короче:

(  > 0) (  > 0) (х :  < |х – а| <  ) |  (х)| < .

Простейшими бесконечно малыми при х а являются функции х—а,

(х — а)², (х — а)³ и т. д.  

Определение 2. Функцию а(х) называют бесконечно малой при х а, если для любого   > 0 можно указать проколотую  -окрестность точки а, во всех точках х которой выполняется неравенство  |  (х)| <  .

Свойства бесконечно малых функций при х а аналогичны свойствам

бесконечно малых функций при х .