Глава 8. Основы механики разрушения

Предмет механики разрушения – изучение условий равновесия и распределения макротрещин внутри нагруженных элементов конструкций. Другое название – механика трещин.

Линейная механика разрушения применима, если зона пластических деформаций у острия трещины мала по сравнению с длиной трещины.

Схема главы:

1. История и литература.

2. Исходная задача об эллиптическом отверстии.

3. Зависимости напряжений и перемещений от координат.

4. Энергия деформации пластинки с отверстием и коэффициент интенсивности напряжений.

5. Модель Гриффитса и критическое равновесие трещины. Энергетическое и силовое условие распространения трещины.

6. Эффективная длина трещины. Учет пластической зоны.

1. История и литература. Исходная задача об эллиптическом отверстии.

К данной теме рекомендуется литература:

1. Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности / А. В. Александров, В. Д. Потапов. – М., 1990.

2. Партон, В. З. Механика упруго-пластического разрушения / В. З. Партон, Е. М. Морозов. – М. : Наука, 1974.

3. Черепанов, Г. М. Механика хрупкого разрушения / Г. М. Черепанов. – М. : Наука, 1974.

4. Справочник по сопротивлению материалов / Г. С. Писаренко [и др.]. – Киев, 1988.

Начало исследований трещин положено работой А.А. Гриффитса «Явление разрушения и течения в твердых делах» (1920).

Он рассматривал историю развития сквозной трещины в пластине бесконечной длины и единичной толщины в условиях линейного напряженного состояния. Трещина моделировалась эллиптическим отверстием с малым << 1.

Т ребовалось найти, при каком внешнем напряжении , приложенном к концам пластины на бесконечности, трещина с начальной длиной 2l станет неустойчивой, т. е. начнет распространяться при неизменном . Прежде чем решать эту задачу, надо найти распределение напряжений вокруг трещины.

Рис. 25. Классическая и современная постановка задачи о трещине

Задача в виде дифференциального уравнения:

Здесь называется функцией напряжений Эри. Уравнение (1) должно быть дополнено краевыми условиями:

При

При y=0, (2)

Если эту задачу решить, то при в окрестности конца трещины x = l в полярных координатах получим распределение напряжений, которое показано на рис. 26.

Рис. 26. Распределение напряжений в окрестности конца трещины

Здесь KI называется коэффициентом интенсивности напряжений. v – перемещение верхнего берега трещины. Форму трещины Гриффитс аппроксимировал вытянутым эллипсом.

Формулы для напряжений в окрестности трещины:

(3)

Различают плоское напряженное состояние t << l, где t – толщина пластины (для тонких пластин), ; и плоское деформированное состояние (для толстых плит (t >> l)),

за счет эффекта Пуассона.

В формулах (3) значения коэффициента :

Эти соотношения выполнены: 1 – для тонкой пластины; 2 – для толстой плиты.

2. Энергия деформации пластинки с отверстием и коэффициент интенсивности напряжений

Коэффициент интенсивности напряжений:

K_I – трещина отрыва (рассмотренный случай);

K_II – трещина сдвига;

K_III – трещина антиплоского сдвига.

П ри (задача Гриффитса) выполняется P

формула:

.

В случае расклинивания силой Р:

.

Р

Вычислим изменение энергии пластины, вызванное раскрытием трещины на длину dl (см. рис. 3).

Рис. 27. К вычислению энергии при раскрытии трещины

Раскрытие трещины вызывает снятие напряжений , на участке dl. Тогда изменение энергии dU равно работе сил в процессе «закрытия» трещины, взятой с обратным знаком:

,

поскольку перемещение удваивается. Силы работы не совершают, так как перемещение . При

.

Каждой точке поля раскрытия трещины соответствует перемещение относительно О₁, т. е. с и углом , т. е.

Отсюда изменение энергии пластины

– (4)

скорость высвобождения энергии.

Обозначим

– трещинодвижущая обобщенная сила.

(а) Плоское деформируемое состояние (толстая плита):

(б) Плоское напряженное состояние (тонкая пластина):

Оказывается, можно найти непосредственно, независимо от KI.

Доказано, что

где r – произвольный контур, охватывающий острие трещины:

Рис. 28. К вычислению трещинодвижущей силы

U0 – плотность энергии деформаций (из решения задачи теории упругости); Xn, Yn – компоненты интенсивности внутренних сил на контуре с нормалью n (вектор).

После вычисления определяют K_I: