4.4. Логическая структура совокупного корреляционного отношения и совокупного показателя взаимосвязи

Исчисление показателей связи величин дополняет показатели их независимости. Последние введены Келле ещё в 1919 г. и названы показателями алиенации. Так парному показателю связи r_AB соответствует парный показатель независимости ŕ_AB = ^.

Совокупный показатель независимости, например, А от В и С, определяется формулой Ŕ_A.BC = , где R_A.BC – совокупный коэффициент корреляции. В [7] доказана следующая Лемма:

Коррелируя стохастическую величину А с остатком, полученным после очистки А от влияния В и С, получим Ŕ_A.BC.

Согласно леммы показатель независимости Ŕ_A.BC может быть получен, например, по такой укрупнённой схеме:

1. Очистить В от С;

2. Очистить А от С;

3. Очистить второй остаток от первого;

4. Коррелируя третий остаток с А, получаем Ŕ_A.BC.

Н еобходимые при этом построения отражены на Рис. 5. Ключевое содержание этим построениям придаёт задача сопоставимости.

Покажем, что перпендикулярен к плоскости [cOb]. ┴ по построению и ┴ ┴ . Отсюда ┴ , что и требовалось показать. ∆Oda – прямоугольный с прямым углом при вершине d. Ŕ_A.BC = ║ ║ / ║ ║ = cos ψ.

Найдём формулу выражения для cos ψ. Очевидно, что aO = ad / cos ψ, аc_a = ad / sin φ и aO = ac_a / sin β = ad / sin β * sin φ. Отсюда cos ψ = sin β * sin φ или Ŕ_A.BC = * , что соответствует (5) – (6).

На основании проделанного построения предлагается следующая схема исчисления совокупного алиенационного отношения (в своём начале она полностью повторяет ранее изложенную схему частного корреляционного отношения).

Таблица 5

Схема исчисления частного корреляционного отношения

№ п/п	Логические операции	Содержание операции для случая линейной регрессии
9	Коррелирование остатков и	rAB.C = ( , )
10	Очистка от	= - * rAB.C
11	Исчисление единицы масштаба	S( ) = 1 / (║ ║ * ) = 1 / *
12	Сопоставление и	Ok0 = * S( ), = * SA
13	Стабилизация	Аналогично операции стабилизации в схеме 1
14	Коррелирование остатков и Oa0	ŔA.BC = ( , )

Предложение 5: При линейной форме связи группы случайных величин их совокупное корреляционное отношение совпадает с совокупным коэффициентом корреляции.

До сих пор рассматривались логические структуры известных статистике показателей. В качестве демонстрации возможностей понимания аспекта сопоставимости, рассмотрим структуру совокупного показателя взаимосвязи, соответствующего R_A.BC. Из Рис. 5 видно, что, коррелируя с , сразу получим R_A.BC (это следует из cos(π / 2 – ψ) = sin ψ. Угол <aOd обозначим ξ. Очевидно, что ξ + ψ = π / 2, sin ψ = R_A.BC = cos ξ, = - Ŕ_A.BC * S( ) * _{. (9)}

По (9) легко построить схему исчисления совокупного показателя взаимосвязи. Необходимые при этом построения отображены на Рис. 6. В начальной своей части схема совокупного показателя взаимосвязи полностью совпадает со схемой частного показателя взаимосвязи.

Таблица 6

Схема исчисления совокупного показателя взаимосвязи

№ п/п	Логические операции	Содержание операции для случая линейной регрессии
8	Очистка от	= * rAB.C *
9	Исчисление единицы масштаба	S( ) = 1 / (║ ║ * * )
10	Представление в масштабе А	S = S( ) / S( ) = 1 / *
11	Проецирование на	b A.dc = ŔA.BC * S = 1 (10)
12	Очистка от	= - b A.dc *
13	Исчисление единицы масштаба	S( )= 1 / (║ ║ * )
14	Представление в масштабе	S = 1 /
15	Проецирование на . Получение совокупного показателя взаимосвязи	║ ║ = RA.BC * S * ║ ║, bA.BC = RA.BC * S = 1 (11)

Интересна интерпретация результатов (10) – (11). Так как b_A.BC = 1, это означает, что теоретическая часть рассеяния результативного фактора А, объяснённая линейной регрессией с В и С, совпадает с .