4.3 Форма звітності з лабораторної роботи:

4.3.1. Тему, мету і порядок виконання роботи.

4.3.2. Результати виконання завдань, проілюстровані графіками та описом ходу виконання завдання.

4.3.3. Оформлені висновки з лабораторної роботи.

4.4 Контрольні запитання

4.4.1. В чому полягає суть методу найменших квадратів?

4.4.2. В чому полягає задача регресійного аналізу?

4.4.3. Які функції використовуються для реалізації регресійного аналізу в Mathcad?

4.4.4. Які функції використовуються для вирішення задач лінійної регресії?

4.4.5. Які функції використовуються для реалізації згладжування в Mathcad?

4.4.6. В чому полягає різниця між інтерполяцією та апроксимацією?

Лабораторна робота №5 чисельне інтегрування та диференціювання

Мета роботи: освоїти чисельне і символьне інтегрування та диференціювання математичних функцій.

5.1 Основні теоретичні положення Чисельне інтегрування

Формули для наближеного обчислення визначених інтегралів застосовуються дуже часто. Справа в тому, що для великого числа елементарних функцій первісні вже не виражаються через елементарні функції, в результаті чого не можна обчислити певний інтеграл за допомогою формули Ньютона-Лейбніца.

Зустрічаються також і випадки, коли доводиться вдаватися до формул наближеного інтегрування навіть для таких інтегралів, які можуть бути знайдені в кінцевому вигляді, але такий вираз виявляється занадто складним. Особливо важливі формули наближеного інтегрування при розв’язку задач , що містять функції, задані таблично.

Квадратурні формули

Найбільш поширеним підходом до чисельного обчислення інтеграла

(5.1)

є розбиття відрізка [a, b] на n рівних частин з кроком , інтерполяція функції y = f (x) на відрізку [a, b] (одержання інтерполяційного многочлена j (x)) та заміна в (1) інтеграла інтегральною сумою:

(5.2)

Співвідношення виду (5.2) називають квадратурними формулами.

У найпростіших випадках як інтерполяційного многочлена j (x) беруть ступінчасту, кусково-лінійну або кусково-параболічну функції, а також поліном степеня для яких квадратурні формули приймають вигляд (див. приклад 1, рис.5.1):

Рисунок 5.1 – Чисельне інтегрування та диференціювання

формула прямокутників:

(5.3)

формула трапецій:

; (5.4)

формула Сімпсона (n - парне число):

(5.5)

Метод невизначених коефіцієнтів полягає в обчисленні певного інтеграла (5.1) за допомогою формули (5.2) коефіцієнти , якої знаходяться в результаті розв’язку наступної системи рівнянь:

(5.6)

де

Метод Монте-Карло

У багатьох задачах вихідні дані носять випадковий характер, тому для їх розв’язку повинен застосовуватися статистико-імовірнісний підхід. На основі такого підходу і побудований метод статистичних випробувань, званий також методом Монте-Карло.

Нехай h - рівномірно розподілена на відрізку [a, b] випадкова величина:

(5.7)

Для генерування послідовності випадкових чисел з нормальним законом розподілу в Mathcad можливо використовувати функцію rnd

rnd(x)

Повертає рівномірно розподілене випадкове число між 0 і х.

Для реалізації методу Монте-Карло зручно використовувати функцію mean

mean(A)

Повертає середнє арифметичне значення елементів масиву А.