2.3. Показательные и логарифмические функции

1. Показательной функцией с основанием а называют функцию вида y=а^х, где а – действительное число, а>0, а1. Для всякой показательной функции D(y)=R, E(y)=(0;). На чертежах показаны графики показательной функции: для а>1, для 0<а<1. Из графиков видно, что при а>1 функция возрастает, при 0<а<1 функция убывает.

2. Логарифмической функцией с основанием а называют функцию вида y=log_ax, где а – действительное число, а>0, а1. Поскольку показательная и логарифмическая функции с одним и тем же основанием – это взаимно обратные функции, то их графики симметричны относительно прямой у=х. На чертежах показаны сплошными линиями графики показательных функций для а>0, для 0<а<1, а штриховыми линиями – графики логарифмических функций при том же основании. Из графиков видно, что для всякой логарифмической функции D(y)=(0;), E(y)=R; при а>1 логарифмическая функция возрастает, при 0<а<1 – убывает.

2.4. Тригонометрические функции

Мы рассмотрим четыре тригонометрических функции: синус, косинус, тангенс и котангенс. Напомним, что синусом числа х называется ордината точки, изображающей число х на числовой окружности, а косинусом числа х – абсцисса этой точки. Тангенс и котангенс числа х определяются как отношение синуса к косинусу и косинуса к синусу соответственно.

1. Для обеих функций y=sinx и y=cosx имеем: D(y)=R, Е(y)=[–1;1]. Функции периодические с периодом 2. На чертеже показаны графики этих функций: сплошная линия – график y=sinx, штриховая линия – график y=cosx.

2. Для функции y=tgx имеем: D(y)={xR, x +n, nZ}, E(y)=R. Функция периодическая с периодом . На чертеже показан график функции; прямые x= +n являются вертикальными асимптотами графика.

3. Для функции y=сtgx имеем: D(y)={xR, xn, nZ}, E(y)=R. Функция периодическая с периодом . На чертеже показан график функции; прямые x=n являются вертикальными асимптотами графика.

2.4. Обратные тригонометрические функции

1. Арксинус числа х определяется следующим образом:

y=arcsinx .

Таким образом, функция y=arcsinx – это функция, обратная функции y=sinx, взятой на отрезке . Поэтому графики этих функций симметричны относительно прямой у=х. На чертеже сплошной линией показан график функции y=sinx, взятой на отрезке , а штриховой линией – график функции y=arcsinx. Из графика видно, что для арксинуса D(y)=[–1;1], а E(y)= ; функция y=arcsinx – возрастающая.

2. Арккосинус числа х определяется следующим образом:

y=arccosx .

Таким образом, функция y=arccosx – это функция, обратная функции y=cosx, взятой на отрезке [0;]. Поэтому графики этих функций симметричны относительно прямой у=х. На чертеже сплошной линией показан график функции y=cosx, взятой на отрезке [0;], а штриховой линией – график функции y=arccosx. Из графика видно, что для арккосинуса D(y)=[–1;1], а E(y)= [0;]; функция y=arccosx – убывающая.

3. Арктангенс числа х определяется следующим образом:

y=arctgx .

Таким образом, функция y=arctgx – это функция, обратная функции y=tgx, взятой на интервале . Поэтому графики этих функций симметричны относительно прямой у=х. На чертеже сплошной линией показан график функции y=tgx, взятой на интервале , а штриховой линией – график функции y=arctgx; этот график имеет две горизонтальные асимптоты: у= – и у= . Из графика видно, что для арктангенса D(y)=R, а E(y)= ; функция y=arctgx – возрастающая.

3. Арккотангенс числа х определяется следующим образом:

y=arcсtgx .

Таким образом, функция y=arcctgx – это функция, обратная функции y=ctgx, взятой на интервале (0;). Поэтому графики этих функций симметричны относительно прямой у=х. На чертеже сплошной линией показан график функции y=ctgx, взятой на интервале (0;), а штриховой линией – график функции y=arcctgx; этот график имеет две горизонтальные асимптоты: у=0 и у=. Из графика видно, что для арккотангенса D(y)=R, а E(y)=(0;); функция y=arcctgx – убывающая.

В дальнейшем, говоря об элементарных функциях, мы будем иметь в виду все функции, рассмотренные в пунктах 2.1-2.5, а также все функции, которые получаются из них с помощью конечного числа арифметических действий и взятий функции от функции (сложные функции). Из известных вам функций не являются элементарными, например, функции у=х(модуль), у=[х] (целая часть), у={х} (дробная часть).