1.7. Смо с приоритетами

В данном классе СМО на вход поступают несколько потоков заявок разного приоритета. Обозначим эти потоки через , где i – приоритет. Будем считать, что поток имеет самый высокий приоритет, а – самый низкий.

1.7.1. Одноканальные смо с приоритетами

Класс СМО , где – плотность функции распределения времени обслуживания заявок i-го приоритета (произвольный закон).

Суммарный поток заявок в СМО равен: , – вероятность того, что на входе СМО поступает заявка i-го приоритета. Получим плотность функции распределения времени обслуживания произвольной заявки входного потока: .

Математическое ожидание времени обслуживания:

;

для дисперсии: ,

,

.

Можно также записать:

.

Рассмотрим задачу определения характеристик обслуживания заявок k-го приоритета.

Время ожидания в очереди заявки k-го приоритета будет определяться выражением (рис 1.30):

, (1.51)

где – время до окончания обслуживания заявки, находящейся на обслуживании в момент поступления заявки k-го приоритета, – заявки более высокого приоритета, которые надо пропустить на обслуживание, – время обслуживания заявок i-го приоритета.

₁

₂

: канал

обслуживания

_i

:

_n

Рис. 1.30. Схема функционирования СМО с приоритетами

– число заявок в очереди в момент поступления заявки k-го приоритета, – число заявок, поступивших в систему за время ожидания в очереди заявок k-го приоритета.

Сумма учитывает тот факт, что надо пропустить на обслуживание заявки более высокого приоритета, которые придут за время ожидания в очереди.

Определим математическое ожидание от (1.51):

. (1.52)

есть не что иное, как среднее время ожидания заявок k-го приоритета .

– среднее число заявок в очереди заявок i-го приоритета:

.

– среднее время обслуживания заявок i-го приоритета:

.

Следовательно,

.

Обозначим через , тогда:

.

– среднее число заявок i-го приоритета, поступивших за время ожидания в очереди заявки k-го приоритета. Очевидно, что , а .

Перепишем (2) с учетом полученных выражений:

(1.53)

(последнее слагаемое из первой суммы перенесли во вторую сумму) или

. (1.54)

Рассмотрим, как это выражение переписывается для разных приоритетов:

,

,

.

В общем случае (k = 2, 3, ...).

Обозначим через , тогда:

, (1.55)

(k = 2, 3, ...). (1.56)

Остановимся на вопросе определения .

Рассмотрим СМО без приоритетов. В этом случае выражение (1.51) принимает вид:

,

а выражение (1.53) .

Откуда получим выражение для :

. (1.57)

В СМО без приоритетов в соответствии с формулой (1.50) Хинчина−Поллачека:

. (1.58)

Напомним, что для произвольно выбранной заявки в СМО с приоритетами:

, (1.59)

. (1.60)

Выражение (1.58) с учетом (1.59) и (1.60) имеет вид:

. (1.61)

Если сравнить (1.57) и (1.61), то получаем:

, (1.62)

а выражение (1.56) примет вид:

,

где , .

Для определения остальных характеристик используем формулы Литтла:

, , .

Пример расчета одноканальной СМО с приоритетами

Задана СМО, в которую поступают заявки трех приоритетов с интенсивностями , , . Время обслуживания заявок − постоянные величины и равны − для потока первого приоритета, − для второго приоритета и − для третьего. Так как времена облуживания – постоянные величины, то , и .

Сначала рассчитаем :

.

Далее вычислим :

.

Отметим, что должна быть меньше 1.

Определим :

.

Переходим к расчету :

, ,

;

, , .

– средняя длина очереди заявок k-го приоритета.

, , ;

, ,

.